Бета- и гамма-функции
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:
I1 = = .
Интеграл I2 подстановкой приводим к виду
Применяя полученное выше разложение, найдем: I2 = .
Таким образом:
I = I1 + I2 = + .
Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции . Окончательно получаем: = .
Таким образом, В (а, 1 - а) = (0 < а < 1). (1.5)
Если, в частности, взять а = 1 - а = , то получим:
В (;) = . (1.5а)
Функция Бета очень просто выражается через другую функцию Гамма, которую мы рассмотрим в следующем параграфе.
2. Функция Гамма
.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода
Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:
Г(а) = , (2.1)
который сходится при любом а > 0, так как особые точки и 0 (при а 1, имеем: = 0 при .
Следовательно, существует при а > 0. Интеграл (а) = определяет функцию Г (Гамма).
Функция Гамма, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции Гамма, исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:
(а) = = =
= = - = .
Как известно, = , причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .
Если сделать подстановку z = yn, получим:
Г (а) = = =
= = .
Но, согласно формуле (1.3):
= В (а) = .
Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:
Г (а) = na. (2.2).
В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального представления (2.1).
2.2 Свойства функции Гамма
2.2.1 Непрерывность
Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:
= . (2.3)
применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а0 > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта хА е-х).
Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной
= (2.3*)
и всех дальнейших.
2.2.2 Основное функциональное уравнение
Из формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:
a. Г (а) = а = =
= + = + =
= = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а) (2.4)
Эта формула, повторно примененная, дает
Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а). (2.5)
Таким образом, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.
Если в формуле (2.5) взять а = 1 и принять во внимание, что
Г(1)==1, (2.6)
то окажется, что
Г (n + 1) = n!. (2.7)
Функция Гамма является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.
2.2.3 Ход изменения функции Гамма
Теперь мы можем составить общее представление о поведении функции Г (а) при возрастании а от 0 до .
Из формул (2.6) и (2.7) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а0 производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.3*), всегда положительна. Следовательно, при 0 0, так что Г(а) возрастает; при а = а0 налицо минимум, вычисление которого дает: а0 = 1,4616…, min Г (а) = Г (а0) = 0,8856.
Установим еще предел для Г (а) при приближении а к 0 или к . Из формул (2.6) [и из свойства 10] ясно, что Г (а) = при а . С другой стороны, ввиду (2.7) Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .
2.2.4 Связь между функциями Бета и Гамма
Для того, чтобы установить связь между функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим:
Г (а) = = =
= = = .
Умножим обе части этого равенства на , получим:
. (2.8)
Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:
= .
Умножим теперь обе части этого равенства на ta-1 и проинтегрируем по t от 0 до :
Г (a+b) = .
В интервале слева мы узнаем функцию В (а, b) [см. 4]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (2.7) и (2.1)]:
Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).
Таким образом, получаем:
Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец,
В (а, b) = . (2.9)
Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции ta-1 ya+b-1 e-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.
А именно: эта функция непрерывна и притом положительна для , а интегралы
= Г (а + b).
= Г (а) yb-1 e-y
в свою очередь представляют собой непрерывные функции: первый - от t для t0, второй - от у для у0. Ссылка на упомянутое следст