Сущность уравнений квадратичной формы и их приведение к каноническому виду
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Сущность уравнений квадратичной формы и их приведение к каноническому виду
Введение
квадратичная форма канонический вид уравнение
Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.
Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.
Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.
В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения и основные теоремы, решить ряд задач по данной теме.
1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической геометрии, а именно в теории кривых (и поверхностей) второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскости, после перенесения начала прямоугольных координат в центр этой кривой, имеет вид
Известно, далее, что можно совершить такой поворот осей координат на некоторый угол , т.е. такой переход от координат к координатам
что в новых координатах уравнение нашей кривой будет иметь канонический вид
в этом уравнении коэффициент при произведении неизвестных равен, следовательно, нулю. Преобразование координат (2) можно толковать, очевидно, как линейное преобразование неизвестных, притом невырожденное, так как определитель из его коэффициентов равен единице. Это преобразование применяется к левой части уравнения (1), и поэтому можно сказать, что левая часть уравнения (1) невырожденным линейным преобразованием (2) превращается в левую часть уравнения (3).
Многочисленные приложения потребовали построения аналогичной теории для случая, когда число неизвестных вместо двух равно любому , а коэффициенты являются или действительными, или же любыми комплексными числами.
Обобщая выражение, стоящее в левой части уравнения (1), мы приходим к следующему понятию.
Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быть любыми комплексными числами.
Считая, что в квадратичной форме уже сделано приведение подобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы: коэффициент при обозначим через , а коэффициент при произведении для - через (сравнить с (1)!).
Так как, однако, , то коэффициент при этом произведении мог бы быть обозначен и через , т.е. введенные нами обозначения предполагают справедливость равенства
Член можно записать теперь в виде
,
а всю квадратичную форму - в виде суммы всевозможных членов , где и уже независимо друг от друга принимают значения от 1 до :
в частности, при получается член
Из коэффициентов можно составить, очевидно, квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг - рангом этой квадратичной формы.
Если, в частности, , т.е. матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Ввиду равенства (4) элементы матрицы А, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица А - симметрическая. Обратно, для любой симметрической матрицы А порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму (5) от неизвестных, имеющую элементы матрицы А своими коэффициентами.
Квадратичную форму (5) можно записать в ином виде, используя умножение прямоугольных матриц. Условимся сначала о следующем обозначении: если дана квадратная или вообще прямоугольная матрица А, то через будет обозначаться матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Если матрицы А и В таковы, что их произведение определено, то имеет место равенство:
т.е. матрица, полученная транспонированием произведения, равна произведению матриц, получающихся транспонированием сомножителей, притом взятых в обратном порядке.
В самом деле, если произведение АВ определено, то будет определено, как легко проверить, и произведение : число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Элемент матрицы , стоящий в ее й строке и м столбце, в матрице АВ расположен в й строке и м столбце. Он равен