Сущность уравнений квадратичной формы и их приведение к каноническому виду
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?авнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 7. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 8. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 9. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 10. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 11. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 12. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 13. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 14. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:.
Решение
Коэффициенты: .
Составим характеристическое уравнение: ;
.
Итого:
- каноническое уравнение гиперболы.
Задача № 15. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график .
Решение
Составим характеристическое уравнение квадратичной формы. Коэффициенты .
Найдем координаты собственных векторов:
,пологая что , тогда ;
,пологая что , тогда .
Собственные векторы:
.
Находим координаты единичных векторов нового базиса
.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
.
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
.
Задание № 16. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?
Решение
.
.
Квадратичная форма является положительно определенной, так как все ее главные миноры положительны.
Задание № 17. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?
Решение
.
. Квадратичная форма не является положительно определенной, так как ее главный минор отрицателен.
Задание № 18. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?
Решение
.
. Квадратичная форма является не положительно определенной, так как не все ее главные миноры положительны.
Задание № 19. Дана квадратичная форма . Привести её к каноническому виду.
Решение
Составим характеристическое уравнение
или . Корни этого уравнения . Собственные векторы, определяющие главные направления квадратичной формы найдём из системы:
(1)
Подставляя сюда поочередно значения и беря каждый раз нормированное решение системы (1), получаем:
Формулы преобразования координат при переходе к этому базису:
В базисе квадратичная форма имеет канонический вид
Задание № 20. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Решение
Составим уравнение
или . Отсюда . Канонический вид данной квадратичной формы
Для того чтобы найти базис, в котором форма имеет вид, необходима найти собственные векторы симметрического линейного преобразования с матрицей
Запишем систему уравнений, определяющую искомые собственные векторы:
(1)
Подставляя сюда и беря каждый раз нормированное решение системы (1), найдем векторы, определяющие главные направления квадратичной формы:
Они составляют нужный базис.
При переходе к базису координаты всех векторов преобразуются по формулам:
Задание № 21. Найти для квадратичной формы
её матрицу.
Решение
Для данной квадратичной формы запишем
Следовательно её матрица равна
.
Задание № 22. С помощью линейных преобразований переменных преобразуем квадратичную форму в канонический вид.
После преобразования
Перейдёт в форму с матрицей
т.е в форму
Квадратная матрица вида
у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной (канонической) матрицей.
Заключение
В выполненной работе рассмотрены математические постановки дл