Сущность уравнений квадратичной формы и их приведение к каноническому виду
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Мы знаем, что всякая квадратичная форма от неизвестных, имеющая ранг приводится к каноническому виду
где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:
Оно приводит форму к виду
называемому нормальным; это - просто сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.
Нормальный вид зависит лишь от ранга формы , т.е. все квадратичные формы ранга приводятся к одному и тому же нормальному виду (18). Если, следовательно, формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (18), а затем (18) в , т.е. существует невырожденное линейное преобразование , переводящее в . Так как, с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то мы приходим к следующему результату.
Теорема:
Две комплексные квадратичные формы от n неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один тот же ранг.
Из этой теоремы без труда вытекает, что каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга r может служить всякая сумма квадратов r неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.
Положение несколько более сложно в том случае, если рассматриваются действительные квадратичные формы и, что особенно важно, допускаются лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами. В этом случае уже не всякую форму можно привести к виду (18), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Если, однако, мы назовем теперь нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или -1, то легко показать, что всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду.
Форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом:
, ,
где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами при ; при , приводит к нормальному виду, . Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.
Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая важная теорема, называемая законом инерции действительных квадратичных форм.
Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть квадратичная форма ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:
Так как переход от неизвестных к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то, обратно, вторые неизвестные также будут линейно выражаться через первые с отличным от нуля определителем:
.
Аналогично,
,
причем определитель из коэффициентов снова отличен от нуля. Коэффициенты же как в (20), так и в (21) - действительные числа.
Можно предположить, что , и написать систему равенств
Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (20), и (21), получится система линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе равно меньше числа неизвестных, поэтому система обладает ненулевым действительным решением .
Необходимо заменить в равенстве (19) все и все их выражениями (20) и (21), а затем подставить вместо неизвестных числа . Если через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановке, то (19) превращается в равенство
(23)
Так как все коэффициенты в (20) и (21) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (23),положительны, а поэтому (23) влечет за собой равенство всех этих квадратов; отсюда следует равенства
(24)
С другой стороны, по самому выбору чисел
(25)
Таким образом, система линейных однородных уравнений , с неизвестными обладает, ввиду (24) и (25), ненулевым решением , то есть определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (21) предполагалась невырожденным. Такое же противоречие будет, если . Отсюда следует равенство , доказывающее теорему.
Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, а разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы .
Теорема. Две квадратичные формы от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.
Доказательство. Пусть форм?/p>