Сущность уравнений квадратичной формы и их приведение к каноническому виду
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
»у Крамера систему линейных уравнений, получающихся из (28) при Действительно, при этих значениях неизвестных форма равна нулю, если не входит в нормальный вид этой формы, и равна -1, если входит в нормальный вид со знаком минус.
Пусть дана квадратичная форма от неизвестных с матрицей . Миноры порядка этой матрицы, расположенные в ее левом углу, то есть миноры
,
из которых последний совпадает с определителем матрицы , называются главными минорами формы .
Теорема. Квадратичная форма от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны.
Доказательство. При теорема верна, так как форма имеет в этом случае вид и поэтому она положительно определенная тогда и только тогда, когда . Поэтому необходимо доказывать теорему для случая неизвестных, предполагая, что для квадратичных форм от неизвестных она уже доказана.
Сделаем сначала следующее замечание:
Если квадратичная форма с действительными коэффициентами, составляющими матрицу , подвергается невырожденному линейному преобразованию с действительной матрицей , то знак определителя формы ( т.е. определителя ее матрицы) не меняется.
После преобразования получается квадратичная форма с матрицей , однако, ввиду , , то есть определитель умножается на положительное число.
Пусть дана квадратичная форма
.
Ее можно записать в виде
(29)
где будет квадратичной формой от неизвестных, составленной из тех членов формы , в которые не входит неизвестное . Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы .
Пусть форма положительно определенная. Форма также будет положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных , не все равны нулю, при которых форма получает не строго положительное значение, то полагая дополнительно , то получилось бы (29), также не строго положительное значение формы , хотя не все значения неизвестных , равны нулю. Поэтому, по индуктивному предложению, все главные миноры формы , кроме последнего, строго положительны. Что же касается последнего главного минора формы , то есть определителя самой матрицы , то его положительность вытекает из следующих соображений: форма , которая положительно определенная с линейным невырожденным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящей из положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен, а поэтому ввиду сделанного выше замечания положителен и определитель самой формы .
Пусть теперь строго положительны главные миноры формы . Отсюда вытекает положительность всех главных миноров , то есть, по индуктивному, предположению, положительная определенность этой формы. Следовательно, существует, такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое приводит форму к виду суммы положительных квадратов от новых неизвестных , то линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех неизвестных , полагая . Ввиду (29) форма приводится к указанным преобразованием к виду:
; (30)
точные выражения коэффициентов несущественны. Так как , то невырожденное линейное преобразование приводит форму к каноническому виду
. (31)
Для доказательства положительной определенности формы необходимо доказать положительность числа . Определитель формы, стоящий в правой части равенства (31), равен . Этот определитель должен быть положительным, так как правая часть равенства (31) получена из формы двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы был последний из главных миноров этой формы, положительным. Теорема доказана .
Пример 2. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?
Решение
.
.
Квадратичная форма является положительно определенной, так как все ее главные миноры положительны.
Пример 3. Является ли квадратичная форма положительно определенной ?
Решение
.
.
Квадратичная форма не является положительно определенной, так как ее главный минор отрицателен.
4.Примеры решения задач квадратичных форм
Задача № 1. Написать матрицу квадратичной формы .
Решение
Здесь
Следовательно:
Задача № 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение
Коэффициенты: .
Составим характеристическое уравнение ;
Задача № 3. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение эллипса.
Задача № 4. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение параболы.
Задача № 5. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое уравнение:
Итого:
- каноническое уравнение эллипса.
Задача № 6 Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .
Решение
Коэффициенты .
Составим характеристическое у?/p>