Система математических расчетов MATLAB
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
9 439
111 81 136
490 253 639
Умножение и деление полиномов
Для умножения и деления полиномов предназначены соответственно функции conv и deconv. Рассмотрим полиномы a(s) = s2 + 2s + 3 и b(s) = 4s2 + 5s + 6. Для вычисления их произведения следует ввести
a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
c = conv(a,b)
MATLAB возвращает
c =
4 13 28 27 18
Для получения из с полинома b воспользуемся функцией deconv:
[q, r] = deconv(c, a)
q =
4 5 6
r =
0 0 0 0 0
где r остаток после деления (в данном случае нулевой вектор). В общем случае для поли-номов q, r , c, a в функции deconv справедливо соотношение
c = conv(q, a) + r
Вычисление производных от полиномов
Функция polyder вычисляет производную любого полинома. Для получения производной от нашего полинома p = [1 0 -2 -5], введем
q = polyder(p)
q =
3 0 - 2
Функция polyder вычисляет также производные от произведения или частного двух полино-мов. Например, создадим два полинома a и b:
a = [1 3 5]; b = [2 4 6];
Вычислим производную произведения a*b вводом функции polyder с двумя входными аргу-ментами a и b и одним выходным:
c = polyder(a, b)
c =
8 30 56 38
Вычислим производную от частного a/b путем ввода функции polyder с двумя выходными аргументами:
[q, d] = polyder(a, b)
q =
-2 -8 -2
d =
4 16 40 48 36
где отношение двух полиномов q/d является результатом операции дифференцирования.
Аппроксимация кривых полиномами
Функция polyfit находит коэффициенты полинома заданной степени n , который аппрокси-мирует данные (или функцию y(x)) в смысле метода наименьших квадратов:
p = polyfit(x, y, n)
где x и y есть векторы, содержащие данные x и y, которые нужно аппроксимировать полино-мом. Например, рассмотрим совокупность данных x-y, полученную экспериментальным пу-тем
x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4].
Аппроксимация функциональной зависимости y(x) в виде полинома третьего порядка
p = polyfit(x,y,3)
дает коэффициенты полинома
p =
-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400
Рассчитаем теперь значения полинома, полученного при помощи функции polyfit, на более мелкой шкале (с шагом 0.1) и построим для сравнения графики (это делает функция plot) реальных данных и аппроксимирующей кривой.
x2 = 1 : 0.1 : 5;
y2 = polyval(p, x2);
plot(x, y, o, x2, y2); grid on
где функция grid on служит для нанесения координатной сетки, а экспериментальные дан-ные на графике отмечены маркерами о.
.
Как видно из рисунка, полином третьего порядка достаточно хорошо аппроксимирует наши данные.
Разложение на простые дроби
Функция residue вычисляет вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух поли-номов. Это особенно полезно при представлении систем управления в виде передаточных функций. Для полиномов a(s) и b(s), при отсутствии кратных корней имеем
где r есть вектор-столбец вычетов, p есть вектор-столбец полюсов, а k есть вектор-строка це-лой части дробно-рациональной функции. Рассмотрим передаточную функцию
Для полиномов числителя и знаменателя этой функции имеем:
b = [-4 8]; a = [1 6 8].
Введя
[r, p, k] = residue(b, a)
получим
r =
-12
8
p =
-4
-2
k =
[ ]
Функция residue с тремя входными (r, p, и k) и двумя выходными (b2, a2) аргументами вы-полняет обратную функцию свертки имеющегося разложения на простые дроби, в дробно-рациональную функцию отношения двух полиномов.
[b2, a2] = residue(r, p, k)
b2 =
-4 8
a2 =
1 6 8
т.е. из данных предыдущего примера мы восстановили исходную передаточную функцию.
В случае кратных корней процедура несколько усложняется, но остается разрешимой.
Интерполяция
Интерполяция является процессом вычисления (оценки) промежуточных значений функций, которые находятся между известными или заданными точками. Она имеет важное приме-нение в таких областях как теория сигналов, обработка изображений и других. MATLAB обеспечивает ряд интерполяционных методик, которые позволяют находить компромисс ме-жду точностью представления интерполируемых данных и скоростью вычислений и исполь-зуемой памятью.
Обзор функций интерполяцииФункцииОписание griddataДвумерная интерполяция на неравномерной сетке. griddata3Трехмерная интерполяция на неравномерной сетке. griddatanМногомерная интерполяци?/p>