Система математических расчетов MATLAB
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
;
X = u*v
X =
6 0 -3
2 0 -1
8 0 -4
Для действительных матриц, операция транспонирования меняет взаимное местоположение элементов aij aji, симметричных относительно главной диагонали. Для обозначения транс-понирования MATLAB использует одиночную кавычку (апостроф) (). Для нашей симметри-чной матрицы Паскаля A = A. Однако матрица В не является симметричной и поэтому:
X = B
X =
8 3 4
1 5 9
6 7 2
Транспонирование превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот. Если x и y оба яв-ляются действительными векторами, то произведение x*y не определено, но оба произве-дения x*y и y*x дают один и тот же скаляр. Это соотношение используется так часто, что имеет три различных имени: скалярное произведение, внутреннее произведение и точечное произведение.
Для комплексного вектора или матрицы, z, величина z обозначет комплексно-сопряженное транспонирование. В MATLAB-е предусмотрены также поэлементные операции над элеме-нтами массивов. Признаком поэлементных операций служит точка после обозначения пере-менной. Так, транспонирование элементов матрицы z как массива чисел обозначается z., по аналогии с другими операциями на массивами чисел. Например, если
z = [1+2i 3+4i]
то
z =
1-2i
3-4i
тогда как z. есть
z. =
1+2i
3+4i
Для комплексных векторов, два скалярных произведения x*y и y*x комплексно сопряжены, а скалярное произведение x*x комплексного вектора с самим собой есть действительное число.
Произведение матриц
Для произведения двух совместимых А и В матриц в MATLABе достаточно записать в ко-мандной строке С = А*В . MATLAB самостоятельно проверит совместимость размерностей матриц и выдаст результат. Если матрицы несовместимы, выдается сообщение об ошибке:
Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
Индексирование (Subscripts)
Для краткого рассмотрения некоторых основных понятий, связанных с индексированием дву-мерных массивов (матриц), введем волшебную матрицу 4-го порядка:
F = magic(4)
F =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
Элемент в i-ой строке и j-ом столбце матрицы F обозначается через F (i,j). Например, F (4,2) есть число в четвертой строке и втором столбце. Для нашего волшебного квадрата, F(4,2) есть 14. Таким образом, можно вычислить сумму элементов четвертого столбца матрицы F, напечатав
F (1,4) + F (2,4) + F (3,4) + F (4,4)
Это дает ответ
ans =
34
но, как мы увидим в дальнейшем, не является самым элегантным способом суммирования элементов одного столбца.
Имеется также возможность обращения к элементам матрицы при помощи одного индекса, F(k). Это обычный способ обращения к элементам векторов (строк или столбцов). Но в MATLAB-е такой способ индексирования можно применить и к двумерным (в общем случае многомерным) матрицам, так как система MATLAB хранит все многомерные массивы чи-сел в виде одного длинного вектора-столбца, сформированного из столбцов исходной матри-цы. Так, для нашего волшебного квадрата, F (8) есть другой способ обращения к начени 14 хранящемуся в F (4,2).
Если вы попытаетесь использовать элемент, находящийся вне размеров матрицы, это приве-дет к сообщению об ошибке
t = F (4,5)
Index exceeds matrix dimensions
(Индекс превышает размерность матрицы)
С другой стороны, если вы попытаетесь запомнить какое-либо число вне размеров матрицы, размер будет соответствующим образом увеличен увеличен, чтобы принять новое значение.
X = A;
X(4,5) = 17
X =
16 3 2 13 0
5 0 11 8 0
9 6 7 12 0
4 15 14 1 17
Двоеточие (Colon)
Двоеточие, : , является одним из наиболее важных операторов MATLAB-а. Оно встречается в нескольких разных формах. Выражение 1:10 есть вектор-строка, содержащий целвые числа от 1 до 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Чтобы получить неединичное приращение, нужно задать приращение. Например,
100 : -7 : 50
есть
100 93 86 79 72 65 58 51
а
0 : pi/4 : pi
есть
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
Индексы, содержащие двоеточия, допускают обращение к частям матриц. Так, выражение
F (1:k, j)
дает первые k элементов j-го столбца матрицы F. То есть,
sum(F (1:4, 4))
вычисляет, как и в примере выше, сумму элементов 4-го столбца. Но есть еще лучший путь. Двоеточие само по себе означает обращение ко всем элементам строки или столбца матрицы, а зарезервированное слово end есть обращение к последним строке или столбцу матрицы (в случае векторов-строк или столбцов слово end есть обращение к последнему элементу векто-ра). Значит,
sum(F (:, end))
вычисляет сумму элементов последнего столбца матрицы F . Ответ: ans = 34. Почему маги-ческая сумма для волшебного к