Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1.Индексы дефекта
2.Преобразование Кэли и формулы Неймана
3.Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V. Для этого выберем в дефектных подпространствах , два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью определения F и областью значений G.
Определим, далее, линейный оператор с областью определения и областью значений формулами
при .
Очевидно, есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим все изометрические расширения оператора V и каждое по одному разу.
Итак, чтобы найти некоторое симметрическое расширение оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше методу некоторое расширение оператора V и, наконец, вернуться к , выполнив преобразование Кэли над .
1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА
Определение: Всякую функцию , которая каждому элементу относит некоторый элемент , называют оператором в пространстве Н с областью определения и областью значений , состоящей из всех , где пробегает все .
Тождественный оператор, т.е. оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать . Область определения и область значение оператора будем обозначать , соответственно.
Если оператор двум различным элементам из относит различные элементы, то имеет обратный оператор, который элементам из относит элементы из . Обратный оператор обозначают символом , таким образом,
, .
Определение: Оператор называется непрерывным в точке (), если (); это означает, что при любом существует такое , что из , .
Если область определения оператора шире области определения оператора , т.е. , и если для любого элемента , то оператор называют расширением оператора ().
Определение. Оператор Т называется линейным, если его область определения D есть линейное многообразие и для любых и любых комплексных .
Определение. Оператор V, заданный на всем пространстве Н1(DV=H1) и отображающий его на все пространство Н2 (), называется изометрическим, если для любых .
Определение. Линейный оператор А называется симметрическим, если
1)область определения DA плотна в Н и
2)для любых двух элементов f, g из DA имеет место равенство
Определение. Значения параметра , для которых обратный оператор существует, определен всюду в и ограничен, называют регулярными значениями оператора Т. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.
Определение. Резольвентой оператора Т называют зависящий от параметра оператор , рассматриваемый на множестве всех тех значений , для которых он существует и для которых его область определения, т.е. плотна в Н.
Пусть - произвольный линейный оператор.
Определение: число назовем точкой регулярного типа оператора , если существует такое , что при всех
.
Поэтому собственные значения оператора не являются для него точками регулярного типа.
Если точка регулярного типа оператора , то оператор существует и ограничен, и обратно, если оператор существует и ограничен, то есть точка регулярного типа.
Если есть точка регулярного типа, то при и любом имеет место неравенство
.
Оно показывает, что множество точек регулярного типа всегда открыто. Это множество точек называется полем регулярности оператора .
Если есть симметрический оператор и , то при любом
.
Отсюда видно, что верхняя и нижняя половины -плоскости являются связными компонентами поля регулярности любого симметрического оператора.
Теорема: если есть связная компонента поля регулярности линейного оператора , то размерность подпространства одинакова для всех .
Условимся называть дефектным числом линейного многообразия размерность его ортогонального дополнения и будем писать
.
Определение: дефектное число линейного многообразия для точек , принадлежащих данной связной компоненте поля регулярного оператора , называется дефектным числом оператора в этой компоненте поля регулярности. При этом называется дефектным подпространством оператора для точки , а любой отличный от нуля элемент дефектного подпространства называется дефектным элементом.
Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа, а именно одно () в нижней, другое () в верхней полуплоскости. Их называют также индексами дефекта оператора :
Индексы дефекта симметрического оператора образуют упорядоченную пару чисел .
Из приведенной выше теоремы вытекают следующие три предложения.
. Если симметрический оператор имеет вещественную точку регулярного типа, то его дефектные числа равны: . То же справедливо относительно изометрического оператора, если он имеет точку регулярного типа на единичной окружности.
. Если - симметрический оператор, то любое невещественное число является для сопряженного оператора собственным значением: кратности , если , и кратности , если .
. Дефектные числа изометрического оператора могут быть определены с помощью следующих равенств:
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ И ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА
Пусть - какое-н