Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1.Индексы дефекта

2.Преобразование Кэли и формулы Неймана

3.Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора

Литература

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V. Для этого выберем в дефектных подпространствах , два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью определения F и областью значений G.

Определим, далее, линейный оператор с областью определения и областью значений формулами

 

при .

 

Очевидно, есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим все изометрические расширения оператора V и каждое по одному разу.

Итак, чтобы найти некоторое симметрическое расширение оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше методу некоторое расширение оператора V и, наконец, вернуться к , выполнив преобразование Кэли над .

 

1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА

 

Определение: Всякую функцию , которая каждому элементу относит некоторый элемент , называют оператором в пространстве Н с областью определения и областью значений , состоящей из всех , где пробегает все .

Тождественный оператор, т.е. оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать . Область определения и область значение оператора будем обозначать , соответственно.

Если оператор двум различным элементам из относит различные элементы, то имеет обратный оператор, который элементам из относит элементы из . Обратный оператор обозначают символом , таким образом,

 

, .

 

Определение: Оператор называется непрерывным в точке (), если (); это означает, что при любом существует такое , что из , .

Если область определения оператора шире области определения оператора , т.е. , и если для любого элемента , то оператор называют расширением оператора ().

Определение. Оператор Т называется линейным, если его область определения D есть линейное многообразие и для любых и любых комплексных .

Определение. Оператор V, заданный на всем пространстве Н1(DV=H1) и отображающий его на все пространство Н2 (), называется изометрическим, если для любых .

Определение. Линейный оператор А называется симметрическим, если

1)область определения DA плотна в Н и

2)для любых двух элементов f, g из DA имеет место равенство

Определение. Значения параметра , для которых обратный оператор существует, определен всюду в и ограничен, называют регулярными значениями оператора Т. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.

Определение. Резольвентой оператора Т называют зависящий от параметра оператор , рассматриваемый на множестве всех тех значений , для которых он существует и для которых его область определения, т.е. плотна в Н.

Пусть - произвольный линейный оператор.

Определение: число назовем точкой регулярного типа оператора , если существует такое , что при всех

 

.

 

Поэтому собственные значения оператора не являются для него точками регулярного типа.

Если точка регулярного типа оператора , то оператор существует и ограничен, и обратно, если оператор существует и ограничен, то есть точка регулярного типа.

Если есть точка регулярного типа, то при и любом имеет место неравенство

 

.

Оно показывает, что множество точек регулярного типа всегда открыто. Это множество точек называется полем регулярности оператора .

Если есть симметрический оператор и , то при любом

 

.

 

Отсюда видно, что верхняя и нижняя половины -плоскости являются связными компонентами поля регулярности любого симметрического оператора.

Теорема: если есть связная компонента поля регулярности линейного оператора , то размерность подпространства одинакова для всех .

Условимся называть дефектным числом линейного многообразия размерность его ортогонального дополнения и будем писать

 

.

 

Определение: дефектное число линейного многообразия для точек , принадлежащих данной связной компоненте поля регулярного оператора , называется дефектным числом оператора в этой компоненте поля регулярности. При этом называется дефектным подпространством оператора для точки , а любой отличный от нуля элемент дефектного подпространства называется дефектным элементом.

Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа, а именно одно () в нижней, другое () в верхней полуплоскости. Их называют также индексами дефекта оператора :

 

 

Индексы дефекта симметрического оператора образуют упорядоченную пару чисел .

Из приведенной выше теоремы вытекают следующие три предложения.

. Если симметрический оператор имеет вещественную точку регулярного типа, то его дефектные числа равны: . То же справедливо относительно изометрического оператора, если он имеет точку регулярного типа на единичной окружности.

. Если - симметрический оператор, то любое невещественное число является для сопряженного оператора собственным значением: кратности , если , и кратности , если .

. Дефектные числа изометрического оператора могут быть определены с помощью следующих равенств:

 

 

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ И ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА

 

Пусть - какое-н