Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

ператора А. Если индексы дефекта оператора А и его симметрического расширения суть (m, n) и (m-p, n-p), где , то из второй формулы Неймана вытекает соотношение

 

 

. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЗАДАННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

 

Теорема 1. Все самосопряженные расширения оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же непрерывный спектр.

Теорема 2. При произвольном расширении оператора с равными и конечными индексами дефекта (,) до самосопряженного оператора кратность собственных значений повышает не более чем на единиц (в частности, новые собственные значения имеют кратность, не превосходящую ).

Теорема3. Если - вещественная точка регулярного типа симметрического оператора А с индексом дефекта , то существует самосопряженное расширение оператора А, для которого число является собственным значением кратности .

Доказательство. Пусть означает линейное многообразие всех решений уравнения

 

.

 

В силу теоремы об инвариантности дефектного числа в поле регулярности число измерений многообразия линейно независимы, ибо в противном случае число было бы собственным значением оператора А.

Положим

 

(1)

 

и пусть означает оператор, совпадающий с оператором А* на , так что число будет собственным значением оператора кратности .

Покажем, что оператор самосопряженный.

Для этого достаточно установить, что оператор симметрический, ибо из (1) следует, что

 

.

 

Если и - произвольные элементы из и

 

 

то

 

 

откуда следует симметричность оператора.

В заключении отметим еще одну теорему, относящуюся к числу решений уравнения

 

 

при вещественных .

Теорема. Если А - симметрический оператор с индексами дефекта и - вещественное число, не принадлежащее точечному спектру оператора А, то число решений уравнения

 

(2)

 

не превосходит дефектного числа .

Для доказательства достаточно построить с помощью многообразия решения уравнения (2) область по формуле (1), где основа .

Из доказательства предыдущей теоремы следует, что оператор является расширением оператора А и, следовательно

 

.

 

Теорема доказана.

 

Пусть А1 и А2 - два самосопряженных расширения симметричного оператора А с индексом дефекта ,

 

 

Всякий оператор С, удовлетворяющий условиям

 

(3)

 

естественно называть общей частью операторов А1 и А2.

Среди операторов С, удовлетворяющих условиям (3), существует, очевидно, такой, который является расширением любой общей части операторов А1 и А2; такой оператор назовем максимальной общей частью операторов А1 и А2. Максимальная общая часть либо является расширением оператора А, либо совпадает с А; в последнем случае расширения А1 и А2 будем называть взаимно простыми.

Для того чтобы расширения А1 и А2 были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы одновременное выполнение условий

 

(4)

 

вело принадлежность к .

Если максимальное число линейно независимых по модулю векторов, удовлетворяющих условиям (4), равно , то максимальная общая часть А0 операторов А1 и А2 имеет индексы дефекта . В этом случае операторы А1 и А2 могут рассматриваться как взаимно простые самосопряженные расширения оператора А0.

Задачей настоящего пункта является вывод формулы, связывающей резольвенты двух самосопряженных расширений оператора А. Пусть - фиксированное самосопряженное расширение, а и - их резольвенты. Пусть, далее - любая общая точка регулярности операторов и В (в частности, может быть произвольным невещественным числом).

Чтобы не выделять случая, когда и В не являются взаимно простыми расширениями оператора А, будем рассматривать их как взаимно простые расширения их максимальной общей части А0, имеющей индексы (r, r), где

Положим и . Для разности резольвент будем иметь

 

(5)

 

Последнее вытекает из того, что при любом

 

.

 

Выберем как-нибудь линейно независимых векторов из и линейно независимых векторов из . Из (3) для любого следует

 

. (6)

Согласно (4) константы являются линейными функционалами от , и можно положить .

Так как, в силу (5) и линейной независимости векторов , при любом , ортогональном к , должно быть

 

,

то ,

т.е. ,(7)

 

и (4) принимает вид

 

=. (8)

 

Заметим, что матричная функция , определенная на множестве общих точек регулярности операторов и , является неособенной.

Предположение влечет в силу (7) линейную зависимость векторов , что означает существование вектора , удовлетворяющего условиям , .

Для вектора получаем из (6) =0, а это противоречит взаимной простоте операторов и , как расширений оператора .

Опуская в (8) элемент и рассматривая как операторы, получаем для любого значения из множества общих точек регулярности операторов и В формулу

(9)

 

Левая и правая части формулы (8) являются регулярными аналитическими вектор-функциями от . Покажем, что могут быть определены как регулярные аналитические вектор-функции от , и получим соответствующую этому выбору формулу для матричной функции .

С этой целью возьмем какое-нибудь фиксированное значение и введем оператор с областью определения и областью значений .

Оператор определяется формулами

 

, ,