Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ибудь вещественное число, а пробегает . Будем полагать, что . Тогда
(1)
преобразование Кэли замкнутого симметрического оператора . Оператор выражается через оператор формулой . При этом областью определения оператора является .
В силу формул (1) (2)
и поэтому .(2)
Утверждение. Индексы дефекта оператора совпадают с индексами дефекта оператора .
Действительно, по определению, . Но , следовательно, . С другой стороны, снова по определению, и , так что .
Теорема 1. Если оператор V - изометрический и многообразие плотно в Н, то определяемый формулой (2) оператор А - симметрический, а оператор V есть его преобразование Кэли.
Теорема 2. Пусть А1 и А2 - симметрические операторы, а V1 и V2 - их преобразования Кэли. Для того чтобы оператор А2 был расширением оператора А1, необходимо и достаточно, чтобы оператор V2 был расширением оператора V1.
Таким образом теорема 2 сводит вопрос о симметрических расширениях заданного оператора А к вопросу об изометрических расширениях его преобразования Кэли.
Известно, что замкнутые линейные многообразия F и G могут служить соответственно областью определения и изменения изометрического оператора тогда и только тогда, когда равны их размерности, тогда изометрические расширения оператора V могут быть получены следующим образом.
Выберем в дефектных подпространствах , два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью определения F и областью значений G.
Определим, далее, линейный оператор с областью определения и областью значений формулами
при .
Очевидно, есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим все изометрические расширения оператора V и каждое по одному разу.
Из приведенных выше рассуждений следует, в частности, что оператор А является максимальным симметрическим (самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V является максимальным изометрическим оператором.
Поэтому имеют место следующие теоремы.
Теорема 3. Для того чтобы симметрический оператор был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы одно из его дефектных чисел равнялось нулю. Для того чтобы симметрический оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы оба его дефектных числа равнялись нулю.
Теорема 4. Пусть А - произвольный симметрический оператор с индексами дефекта . Оператор А всегда можно расширить до максимального. Если , то среди таких расширений нет самосопряженных; если и , конечны, то любое максимальное расширение оператора А является самосопряженным; если же дефектные числа , бесконечны и равны, то среди максимальных расширений имеются как самосопряженные, так и несамосопряженные.
Теорема. Пусть А - произвольный симметрический оператор с областью определения DA, a и (>0) - какая-нибудь пара его дефектных подпространств. Для области определения DA* оператора А* имеет место следующее определение в виде прямой суммы трех линейных многообразий:
DA* = DA
Доказательство. Покажем, что любой элемент f из DA* представим в виде
f = f0 + g+ g, (1)
где f0 DA, gz , g ; при этом следует заметить, что вместе с (1) будет иметь место формула
. (1)
Пусть . Разложим элемент на составляющие в ортогональных подпространствах и :
.
но ; поэтому
,
откуда заключаем, что
,
т.е.
или .
Для окончания доказательства теоремы осталось установить, что представление (1) каждого элемента единственно. Допуская противное, примем, что
. (2)
Применяя к обеим частям этого равенства оператор А*, получаем
. (2)
Умножая далее (2) на z и вычитая из (2), получаем
,
откуда, вследствие ортогональности слагаемых, следует, что ; точно также получим, что ;
следовательно, .
Теорема доказана.
Найдем теперь при любом . В соответствии с (1) и (1), имеем , где , и
.
Так как сумма первых трех слагаемых вещественна, то
,
где в квадратных скобках снова стоит вещественная величина, а потому окончательно находим
. (3)
В соответствии с формулой (3) область DA* состоит из трех (нелинейных) многообразий Г+ (совокупность элементов f, для которых , Г- ((совокупность элементов f, для которых вещественно). Элемент
принадлежит Г+, Г- или Г0, смотря потому, будет ли
или (если ).
Найдем теперь для области определения любого симметрического расширения оператора А представление, аналогичное формуле (1).
Чтобы подчеркнуть зависимость подпространств F и G от z, будем писать Fz и Gz. Таким образом,
.
или, полагая
1= - V', .
Из следует, что при
(4)
будет . (4')
Формулы (1) и (4) будем называть соответственно первой и второй формулой Неймана.
Из первой формулы Неймана непосредственно следует для размерности DA* по модулю DA формула:
. (5)
Вторая формула Неймана совместно с равенством (4) описывает все симметрические расширения заданного оператора А. Если, в частности, оператор А имеет равные дефектные числа и есть его самосопряженное расширение, то в формуле (4) элемент будет пробегать все подпространство , а - все . Обратно, если в (4) элемент пробегает все , а - все , то оператор будет самосопряженным расширением о