Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

 

из которых следует, что осуществляемое им отображение Н на Н взаимно однозначно.

В частном случае, при оператор приводит к преобразованию Кэли оператора и отображает дефектное подпространство . Покажем, что вообще .

Выберем произвольный базис и докажем, что .

Имеем

 

 

т.е. . При этом в силу взаимной однозначности отображения, осуществляемого оператором , векторы образуют базис в , и мы можем принять, что векторы в любой точке регулярности оператора определены формулами

 

,

 

и, следовательно, являются регулярными аналитическими вектор-функциями от .

С помощью функционального уравнения резольвенты легко проверить, что в таком случае для любых двух регулярных точек и оператора имеют место равенства

 

. (10)

 

Теперь значение матричной функции при любом (регулярном для и ) определяется по ее значению ; для нахождения соответствующей формулы воспользуемся функциональным уравнением резольвенты

 

.(11)

 

С другой стороны, в силу (7)

(12)

 

Подставляя правые части (12) в (11), получаем (13):

 

 

Если с помощью (10) приведем сумму второго и третьего слагаемого в правой части к виду

 

,

 

и после этого приведем в (13) подобные члены, то получим

 

 

Отсюда, в силу линейной независимости векторов ,

 

 

и, далее, в силу линейной независимости

 

или, в матричном виде,

 

.

 

Умножая последнее равенство справа на и слева на , получаем искомое соотношение

 

(14)

 

Нетрудно проверить, что из (14) для любых двух общих регулярных точек и операторов , следует

 

.

пространство симметрический оператор

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1.Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М., 1966. - 544 с.

2.Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - 4-е изд., испр. - М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 488с.

.Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. - М.: Мир, 1983, 432 с.