Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
из которых следует, что осуществляемое им отображение Н на Н взаимно однозначно.
В частном случае, при оператор приводит к преобразованию Кэли оператора и отображает дефектное подпространство . Покажем, что вообще .
Выберем произвольный базис и докажем, что .
Имеем
т.е. . При этом в силу взаимной однозначности отображения, осуществляемого оператором , векторы образуют базис в , и мы можем принять, что векторы в любой точке регулярности оператора определены формулами
,
и, следовательно, являются регулярными аналитическими вектор-функциями от .
С помощью функционального уравнения резольвенты легко проверить, что в таком случае для любых двух регулярных точек и оператора имеют место равенства
. (10)
Теперь значение матричной функции при любом (регулярном для и ) определяется по ее значению ; для нахождения соответствующей формулы воспользуемся функциональным уравнением резольвенты
.(11)
С другой стороны, в силу (7)
(12)
Подставляя правые части (12) в (11), получаем (13):
Если с помощью (10) приведем сумму второго и третьего слагаемого в правой части к виду
,
и после этого приведем в (13) подобные члены, то получим
Отсюда, в силу линейной независимости векторов ,
и, далее, в силу линейной независимости
или, в матричном виде,
.
Умножая последнее равенство справа на и слева на , получаем искомое соотношение
(14)
Нетрудно проверить, что из (14) для любых двух общих регулярных точек и операторов , следует
.
пространство симметрический оператор
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М., 1966. - 544 с.
2.Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - 4-е изд., испр. - М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 488с.
.Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. - М.: Мир, 1983, 432 с.