Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Содержание:
Аннотация
. Постановка задачи
. Сведение дифференциальной задачи к интегральному уравнению для бигармонического уравнения
3. Расчетные формулы
4. Корректно и некорректно поставленные задачи
. Метод регуляризации Тихонова А.Н. для решения систем линейных алгебраических уравнений
. Дискретная регуляризация для бигармонического уравнения
. Оценка погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения
Список литературы
Приложение
Аннотация
В данной работе рассматривается применение метода дискретной регуляризации для нахождения приближённого решения в обратной задаче для однородного бигармонического уравнения в круге.
Такое уравнение возникает из задачи о колебаниях тонкой пластины с закрепленными краями, на которую действует внешняя сила, распределенная равномерно с плотностью f(x,y).
Для нахождения приближенного решения используется метод сведения к системе интегральных уравнений Фредгольма I рода (и, следовательно, некорректно поставленной задаче), к которой, после дискретизации посредством квадратурных формул, применяется метод регуляризации Тихонова А.Н. [2], [3].
В приложении приведены расчётные формулы; программа и результаты численного счета на ЭВМ.
1. Постановка задачи
Уравнение (1`) называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.
Основная первая краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом [1]:
Найти функцию u(х,у), непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению (1) или (1`) внутри S и граничным условиям на С:
,
где и непрерывные функции.
Задан круг SR радиуса R с центром в начале координат и границей С. В этом круге SR рассматривается краевая задача для бигармонического уравнения:
(1)
где дифференциальный оператор
и int SR - внутренность круга.
Предполагая, что значения g и h неизвестны, но известно решение на простой замкнутой гладкой кривой L, лежащей внутри круга SR, т.е. известно значение функции u(х,у) и значение производной функции u(х,у) по внешней нормали на кривой L. Кривая L определена параметрически как x = x(t), y = y(t), t []. Функции x = x(t), y = y(t) - непрерывно дифференцируемы на [].
(1*)
где (t) и (t) непрерывные функции.
Требуется найти решение в круге SR.
Таким образом, имеем обратную краевую задачу о восстановлении решения по заданной информации внутри области.
2. Сведение обратной задачи к системе двух интегральных уравнений
Рассмотрим бигармоническое уравнение
внутри SR
и замкнутую гладкую кривую
с непрерывно дифференцируемыми x(t), y(t) и известными значениями решения u(x,y) на L:
при . Здесь функции g, h - предполагаются неизвестными.
Так как начало координат совпадает с центром окружности, то по [1] воспользуемся известным представлением решения задачи (1) для круга:
, (2.2)
где
;
, ( r, - полярные координаты)
Введём обозначения:
Тогда формула (2.2) запишется в виде:
Для определения функций h и g воспользуемся условиями (1.4), (1.5):
(2.3)
(2.4)
Введём вектора , X = (h,g)T и матрицу:
Запишем систему уравнений (2.3), (2.4) в виде одного векторно-матричного интегрального уравнения:
(2.5)
Тем самым получили интегральное уравнение Фредгольма I рода. Как известно решение такого уравнения является некорректной задачей.
Найдя вектор X из (2.5) и подставив в формулу (2.2) получим решение задачи (2.1) по формуле (2.2), описывающей решение внутри круга SR.
3. Расчетные формулы
Введем используемые обозначения:
Уравнения ядер будут выглядеть следующим образом:
используем:
и косинусы внешней нормали к кривой L:
получаем:
4. Корректно и некорректно поставленные задачи
Математической моделью многих практических задач является линейное уравнение Az = u (4.1), где z - искомый элемент и u - правая часть принадлежат соответствующим нормированным пространствам Z, U; А - линейный оператор, действующий из Z в U.
Среди задач (4.1) выделяется класс задач некорректно поставленных.
Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений.
Следуя Тихонову А.Н., задача (4.1) называется корректно поставленной, или просто корректной, если выполняются следующие условия:
решение задачи (4.1) существует для любого элемента u U;
- решение определено однозначно по u;
решение задачи устойчиво, т.е. для любой точности > 0 можно указать такое () > 0, что если , то |||| < , где и решения (3.1), соответствующие правым частям и .
Если оператор А обратим и ограничен, т.е. существует оператор , то
z = Au и R=A. Условие 3) означает непрерывность оператора R. Если задача (4.1) не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1), 2), 3), то она называется некорректной. в случае ограниче?/p>