Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
(+ h||x||)2
Для нашей задачи в системе уравнений Ах = b мы будем возмущать лишь правую часть (п.5), поэтому невязка запишется следующим образом:
(5.1)
6. Дискретная регуляризация для бигармонического уравнения
Ранее было установлено равенство:
, (2.2)
где g и h находятся из системы интегральных уравнений (2.2), (2.3).
К интегралу Пуассона (2.1) и к системе интегральных уравнений (2.2), (2.3) применим какую либо квадратурную формулу. В результате получим:
(6.1)
k= и A- квадратурные коэффициенты.
Так для формулы прямоугольников:
= , j =, A=0
и , j =.
Для формулы трапеций:
, A=, j =
и , j =.
Полагая и осуществляя дискретизацию по t, получаем
систему линейных алгебраических уравнений.
Запишем систему уравнений в векторном виде.
Введём обозначения блочной матрицы А и векторов х, b:
, , , где
,
Ax = b - система линейных алгебраических уравнений порядка (2m) относительно и .
Далее осуществляем возмущение правой части: b = b+, где = ()т, > 0 и применим метод регуляризации Тихонова А.Н. к возмущённой системе, описанный в пункте 4.
Для останова используем обобщённую невязку .
Далее найдя регуляризованное решение ха, где = - параметр регуляризации, который находится изложенным выше способом, подставляем в квадратурную формулу:
Здесь ua = ua(x,y) для любой точки, принадлежащей внутренности круга S.
Тем самым получили приближение ua к точному решению u(х,у).
. Оценка погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения
Дадим оценку погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения:
Имеем точные интегральные уравнения:
А также приближённые:
Применим к системе приближённых уравнений метод дискретной регуляризации (ограничимся квадратурной формулой прямоугольников):
Заменяем:
;
Отбрасываем остаток, так как это маленькая величина, и получим:
Тогда получаем:
hh(s); gg(s)
Нам известна оценка остатка для квадратурной формулы прямоугольников |R| = o(h) Bh
Будем считать:
Ax = b - точной системой,
Ax = b + R - приближенной системой.
Погрешность правой части можно оценить:
|| b - (b + R)|| |||| + ||R||
Или ||x- x||
где = , ||R|| =
Шаг интегрирования в формуле прямоугольников h=2/m, то есть
m=2/h
Тогда формулу для оценки погрешности можно записать следующим образом:
дискретный регуляризация интегральный бигармонический
Список литературы
1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -Главная редакция физико-математической литературы издательства Наука, - М., 1966.
2.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - Главная редакция физико-математической литературы издательства Наука, - М., 1974.
.Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М., Наука, 1990.
.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984г.
.Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001г.
.Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы, - Киев, 1986
Приложение
Описание переменных в программе:- число точек деления.
K1, K2, К3, К4 - функция ядер.- правая часть.- точное решение,- регуляризованное решение.- невязка.
Текст программы:;clc;disp("INVERSE PROBLEM for BIGARMONIC EQUATION:");("d^4U/dx^4+2d^4U/(dxdy)^2+d^4U/dy^4=0 for(x,y)in CR");("U(x,y)=FI(t),dU/dn=PCI(t) on L in CR CALCULATE U(x,y)");("SYSTEM 1D-FR1:intg{s0,s1;K(t,s)z(s)ds}=FP(t),t0<=t<=t1");("K(t,s)=[K1(t,s) K2(t,s); K3(t,s) K4(t,s)]");("FP(t)=[FI(t);PSI(t)]");=input("ENTER N-NUMBER of KNOTS for FR1");=input("Enter delta-error for FI(t),PCI(t) on L");=input("Enter eps(<0.0001)for nev<=eps");("R-radius for CR");=input('Enter R(test R=4)');("(xp,yp)-center L as xp^2+yp^2<R^2");=input ('Enter xp');=input ('Enter yp');=(R-sqrt (xp^2+yp^2))^2("Enter a1,b1-parameter for L as a1^2+b1^2<RL2");=input('Enter a1-(test a1=3 for xp,yp=0)');=input('Enter b1-(test b1=2 for xp,yp=0)');=0; s1=2*%pi; t0=0; t1=2*%pi; N1=N-1;
//--------------------------------------------------------------
//disp("PRAM");hs=(s1-s0)/N;ht=(t1-t0)/N;for j=1:N;A(j)=hs;end;P=input('ENTER P={0;0.5;1}');("TRAP");P=1;hs=(s1-s0)/N1;ht=(t1-t0)/N1;A(1)=hs/2;A(N)=hs/2;for j=2:N1;A(j)=hs;end
//---------------Кривая L в CR ---------------------------------z=xL(t), z=a1*cos(t)+xp, endfunctionz=yL(t), z=b1*sin(t)+yp, endfunction
//Производные параметров кривой L по x,y
function z=dxL(t), z=-a1*sin(t), endfunctionz=dyL(t), z=b1*cos(t), endfunction
//Косинус(alfa) внешней нормали к кривой L
function z=cosal(t),z=dyL(t)/sqrt((dxL(t))^2+(dyL(t))^2),
endfunction
//Косинус(beta) внешней нормали к кривой L
function z=cosbe(t),z=-dxL(t)/sqrt((dxL(t))^2+(dyL(t))^2),
endfunction
//Функции для расчётных формул(из теории)
function z=a(x,y), z=x^2+y^2-R^2,endfunctionz=d(x,y,s),=(x-R*cos(s))^2+(y-R*sin(s))^2,z=c1(x,s), z=x-R*cos(s), endfunctionz=c2(y,s), z=y-R*sin(s),endfunctionz=b2(x,y,s), z=R-x*cos(s)-y*sin(s), endfunctionz=K1(x,y,s),=-a(x,y)^2/(4*%pi*R*d(x,y,s)),z=K2(x,y,s),=a(x,y)^2*b2(x,y,s)/(2*%pi*R*d(x,y,s)^2),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по х
function z=DK1X(x,y,s),=-(2*x*d(x,y,s)*a(x,y)-c1(x,s)*a(x,y)^2)/(2*%pi*d(x,y,s)^2*R),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по у
function z=DK1Y(x,y,s),=-(2*y*d(x,y,s)*a(x,y)-c2(y,s)*a(x,y)^2)/(2*%pi*d(x,y,s)^2*R),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по внешней нормали L
function z=K3(x,y,s,t),=DK1X(x,y,s)*cosal(t)+DK1Y(x,y,s)*cosbe(t), endfunction
//Производная K2(x,y,s) по х
function z=DK2X(x,y,s),=2*(d(x,y,s)*cos(s)+2*b2(x,y,s)*c1(x,s))*K1(x,y,s)/d(x,y,s)^2-
2*(b2(x,y,s)*DK1X(x,y,s))/d(x,y,s),
endfunction
//Производная K2(x,y,s) по у
function z=DK2Y(x,y,s),=2*(d(x,y,s)*sin(s)+2*b2(x,