Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ного оператора A имеем корректность по Адамару.
Уравнение Фредгольма I рода является некорректной задачей, так как решение задачи не устойчиво [2].
Уточним понятие решения для некорректно поставленных задач. Действительно, если выполняется условие 1), но не выполняется условие 2), то точных решений много. Если же не выполняется 1), то решений вообще нет. В таких случаях говорят о нормальных решениях.
Определение: элемент z называется нормальным решением уравнения Az=u, если ||z||=, где Z -множество всех решений , для уравнения Az=u.
5. Метод регуляризации Тихонова А.Н. для решения систем линейных алгебраических уравнений
Пусть в пространстве задана система линейных алгебраических уравнений Ах = b с матрицей А = () и вектором b = (), i,j = l,...,n. Эта система может быть однозначно разрешимой, вырожденной и неразрешимой. Введём в этих случаях понятие псевдорешения [2].
Определение: Псевдорешением системы Ах = b называют вектор х, минимизирующий невязку || Ах-b || = (x) на всём пространстве .
Очевидно, если у системы Ах = b есть решение , то оно же будет и псевдорешением. В этом случае невязка () = 0. Система может иметь не одно псевдорешение. Возникает вопрос о выделении среды псевдорешений какого-либо одного, обладающего определёнными свойствами. Введём понятие нормального решения.
Определение: Вектор называется нормальным решением системы Ах = b, если он имеет минимальную норму среди всех псевдорешений,
т.е. || хн || = inf || х || для всех x FA
(где FA - множество псевдорешений).
|| х || =
Нормальное решение для любой системы Ах = b существует и единственно [4]. Если система имеет единственное решение, то оно же будет и нормальным решением.
Задача нахождения нормального решения некорректна. Поэтому для получения его целесообразно применять регуляризирующий метод, в основе которого лежит идея регуляризирующего оператора [2], [3].
Есть точная система Ах = b и есть приближённая система
Ah х =b,
где || A-Ah || h , || b- b|| .
Требуется найти вектора ха, где , такие, что || ха-хн || = 0. Эти вектора ха называются приближениями к нормальному решению хн уравнения Ах = b. Их можно находить путём минимизации функции Тихонова А.Н.:
В [2] показывается, что для любых и матриц Ah: || A-Ah || h, чисел > 0 существует единственный вектор ха, минимизирующий функцию Тихонова А.Н. Та(х, b, Ah) на всём пространстве. При этом вектор ха удовлетворяет уравнению:
gradx Та(х, b, Ah) = 0 или
AhTAhxa + xa=AhTb (4.1)
Устанавливается также в [2], что для всех > 0 определён оператор
R(b, Ah,) = xa, который будет регуляризирующим. Именно существует зависимость , при которой вектора xa = R(b, Ah,) сходятся к нормальному решению системы Ах = b при h, -> 0. Эти ха находятся из системы (4.1) для заданного уровня погрешностей h, .
Определение: Оператор R(b, A,), зависящий от параметра , со значениями в Rn, называется регуляризирующим оператором для уравнения
Ах = b, если он обладает свойствами [2], [3]:
)существует такая пара положительных чисел (), что оператор
R(b, Ah,) определён для всякого > 0 и любых и матриц Ah размера (nn): || b-b ||, || Ah-A ||;
)существует такая функция , , что для любого > 0найдётся пара чисел , такая, что если
при || Ah-A || h h(),|| b-b ||, будет || ха-х0||,
где ха = R(b, Ah,) , х0 - точное решение системы Ах = b.
В этом определении не предполагается однозначность оператора
R(b, A,), отметим, что функция зависит от b и Ah .
Итак, в качестве приближённых решений уравнения Ahx = b можно брать значения регуляризирующего оператора: ха = R(b, Ah,), где пара-
метр регуляризации согласован с погрешностью исходных данных Ah, b. Полученные таким образом регуляризованные решения устойчивы к малым изменениям исходных данных.
Выбор параметра регуляризации по обобщенной невязке.
)Введём функцию , называемую обобщённой невязкой:
где - мера несовместимости системы , для всех х . Очевидно, что если система Ahx = b имеет решение, то = 0.
Обобщенный принцип невязки для выбора параметра регуляризации :
а) пусть выполнено условие и для любого > 0 векторха определяется из системы (4.1). Тогда обобщённая невязка определена при всех > 0 и имеет положительный корень * > 0 или = 0. В этом случае приближённое решение уравнения Ах = b полагается ха*;
б) если же , то полагаем приближённое решение системы Ах = b равным нулю.
Показывается в [2] и [3], что для || Ah-A || h, || b-b || и , выбранному согласно принципу обобщённой невязки, будет при ,h 0.
)Устанавливается, что обобщённая невязка - строго возрастающая функция. Поэтому для нахождения корня *: = 0 можно сделать следующее. Берётся конечный отрезок монотонной последовательности чисел , например, отрезок геометрической прогрессии
ak = aoqk, k= l,...,n; 0<q< 1 .
Для каждого значения ak находится вектор xak из решения уравнения (4.1) и вычисляется
p(ak) = || Ahxak-b||2 - (+ h||xak||)2 - .
За * берётся такое k*, для которого с требуемой точностью выполняется неравенство | (k*)| < . Тогда за приближённое решение системы Ах= b берём ха*к. Корень *, для которого = 0, можно находить, используя метод половинного деления.
Если система имеет решение, то = 0 и обобщённая невязка имеет вид: = || Ahxa-b||2 - (+ h||x||)2.
Замечание: В [3] устанавливается, что в принципе невязки можно не учитывать (т.е. положим = 0), поэтому можно записать:
= || Ahxa-b||2 -