Разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
ажении [6]:
[i+1] = Z[i] * Z[i] + C(15)
где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).
Рис. 13. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200pаз [7].
Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон) [6].
Примеры алгебраических фракталов:
множество Мандельброта;
множество Жюлиа;
бассейны Ньютона;
биоморфы.
2.9 Размерность фрактала
В евклидовой геометрии есть понятие размерности: размерность отрезка - единица, размерность круга - два, шара - три (или: прямая - 1, плоскость - 2, ...). Например, если мы будем измерять длину отрезка, то, например, метровых отрезков в нём будет N, полуметровых 2N, дециметровых - 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, то есть здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров [8].
Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация - их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2.
Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают как бы дробной размерностью, хотя, строго говоря, для природных объектов такую размерность вычислить невозможно. Правильнее сказать, что в определённых диапазонах наблюдения природные объекты, возникшие в результате долгой диффузии и абсорбции, похожи на фрактальные множества. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека - между 2,4 и 2,6 [8].
Дадим теперь общее определение фрактальной размерности. Пусть d - обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект. Покроем теперь этот объект целиком d-мерными "шарами" (под "шаром" в зависимости от задачи мы будем понимать также и куб, и квадрат, и просто отрезок прямой) радиуса l. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N(l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N(l) меняется с l по степенному закону [6]:
,(16)
то D - называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.
Формулу (16) можно переписать также в виде
(17)
Это и служит общим определением фрактальной размерности D. В соответствии с ним величина D является локальной характеристикой данного объекта.
Покажем, что это определение дает привычные для нас целочисленные значения размерности для обычных хорошо известных множеств. Так, для множества, состоящего из конечного числа изолированных точек, N, минимальное число d-мерных "шаров", с помощью которых мы можем покрыть это множество, при достаточно малом размере шаров совпадает, очевидно, с количеством точек, т. е. N(l) = N и не зависит от диаметра этих шаров l. Следовательно, согласно формуле (17), фрактальная размерность этого множества D = 0. Она совпадает с обычной Евклидовой размерностью изолированной точки d = 0 (точка - нульмерный объект).
Для отрезка прямой линии длиной L (состоящего из бесконечного числа точек) минимальное число N(l) одномерных отрезков размера l, с помощью которых можно покрыть данный отрезок целиком, равно, очевидно, N(l) = L/l. В этом случае, согласно формуле (17) (или (16)), фрактальная размерность D = 1, т.е. совпадает с Евклидовой размерностью отрезка прямой d = 1. Для области площадью S гладкой двумерной поверхности число необходимых для ее покрытия квадратиков N(l) = S/l2 (при достаточно малых l), поэтому фрактальная размерность гладкой поверхности D = 2. И наконец, для покрытия некоторого конечного объема V необходимо N(l) = V/l3 кубиков с ребром l. Следовательно, фрактальная размерность этого множества D = 3.
Разберем теперь некоторые классические примеры регулярных фракталов, которые обладают свойством идеального самоподобия. Их покрытие можно осуществлять элементами, из которых состоит данный фрактал. В этом случае имее