Разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
?я относительно конечности кластера рассеятся, так как масса кластера уже не будет возрастать с увеличением L.
Рис. 2. Конечное состояние кластера на квадратной решетке при рс. Радиус окружности равен радиусу гирации Rg(s) = 51 кластера, содержащего 6700 узлов. Квадрат в центре имеет сторону L= 60. Наименьший квадрат, вмещающий кластер, имеет сторону Ls = 150 [4].
Эти соображения можно резюмировать следующим образом. Если на кластер, состоящий из s узлов, наложить клетку со стороной L, то масса Мg(L), оказавшаяся внутри клетки, определяется соотношением
(5)
Переходная функция f(x) здесь просто стремится к постоянной амплитуде А в соотношении (2) при х = L/Rg(s). Но так как масса MS(L) при х " 1 должна перестать зависеть от L, мы заключаем, что f(x) ~ x-D, поэтому член LP, стоящий перед/в соотношении (5), выпадает. В результате мы получаем следующее [4] соотношение между радиусом тирании и числом узлов в кластере:
(6)
Рис. 3. Зависимость масс кластеров s (числа узлов) от линейных размеров Ls кластеров для квадратной решетки при рс = 0,5927. Диапазоны ошибок указывают одно стандартное отклонение относительно среднего. На врезке показан результат экстраполяции прямой с угловым коэффициентом Dэфф = d ln s/d ln Ls при s>?, где D = 1,89 0,01 [4].
Соотношение s ~ Rg(s)D было подтверждено многочисленными численными экспериментами. На рис. 3 показаны результаты, полученные Гроссманом и Аарони [4] относительно зависимости s от Ls, где L - длина стороны наименьшей клетки, вмещающей в себя кластер. Кластеры не имеют характерных размеров, которые не зависели бы от размера самого кластера, и поэтому можно ожидать, что М (L) изменяется по степенному закону как Lf. Это отчетливо видно на рис. 3. На врезке показана экстраполяция "эффективной" фрактальной размерности, вычисленной по части кривой s(Ls) по формуле эфф = = ? In s/? In Ls. Полученное значение совпадает в пределе больших кластеров с ожидаемым значением фрактальной размерности D = 1,890,01?91/48. Размерность Dэфф может быть получена путем подгонки прямой относительно 1/LS. Это свидетельствует о том, что главная поправка D1 в уравнении (3) определяется соотношением Dx = D - 1. Интервалы ошибок указывают на разброс значений параметра s в "окнах" линейного размера Ls. В свою очередь существование этого разброса подчеркивает, что степенной закон s ~ Ls D применим только к средним величинам. Интервалы ошибок имеют фиксированную длину в логарифмической шкале. Это позволяет заключить, что флуктуации значения s при заданном значении Ls определяются соотношением [4]
.(7)
2.4 Остов перколяционного кластера
Мы обсуждаем теорию перколяции, используя образ "жидкости", смачивающей "поры" после ее впрыскивания в каком-либо одном узле. При таком подходе предполагается, что поры пусты и ничто не мешает жидкости заполнить любую пору. Этот процесс можно реализовать на практике, впрыскивая ртуть в пористый материал, из которого предварительно откачан воздух [4].
Рассмотрим поры, образующие решетку и заполненные несжимаемой жидкостью (маслом). Впрыскивается другая жидкость (вода). Она может вытеснить масло только вдоль остова перколяционного кластера. Части перколяционного кластера, связанные с его остовом через единственный узел, называются обособленными ветвями. Чтобы отделить обособленную ветвь от остова, достаточно удалить этот единственный узел, т. е. перерезать одну обособленную связь. Вытесняющая жидкость (вода) не может проникнуть в обособленные ветви, потому что запертому там маслу просто некуда деться.
Рис. 4. Перколяционный кластер и его остов (черный цвет) по результатам моделирования на квадратной решетке размером 147 х 147 при рс - 0,593 [4].
Остов включает все узлы, лежащие на всех возможных траекториях несамопересекающегося случайного блуждания, начинающихся в узле (узлах) впрыскивания и заканчивающихся на границе области. Несамо-пересекающееся случайное блуждание не может привести в обособленную ветвь, потому что иначе для возвращения на остов пришлось бы дважды побывать в том единственном узле, связывающем с ним эту ветвь.
Конкретная реализация перколяционного кластера и его остова показана на рис. 4 для перколяции по узлам квадратной решетки на пороге протекания. Остов связывает узел, находящийся в центре квадратной решетки размером 147 х 147, с узлами на ее границе. Перколирующий кластер содержит 6261 узел, в то время как в остове всего 3341 узел [4].
Изготовили лабораторную модель перколяционного кластера, показанного на рис. 4 [4]. Модель сделана из эпоксидной смолы и имеет цилиндрические поры диаметром 1,1 мм и высотой 0,7 мм. Поры связаны каналами шириной 0,7 мм. Модель заполнялась вязким подкрашенным глицерином. Обычный эксперимент по вытеснению состоял в том, что в центре объема впрыскивался воздух, который вытеснялглицерин, вытекавший из модели. Результаты эксперимента, показанные на рис. 5, очень наглядно иллюстрируют, что вытеснение происходит только вдоль остова.
Рис. 5. а-Воздух, вытесняющий глицерин с большим капиллярным числом в перколяционном кластере, показанном на рис. 7.13; б- численное моделирование вытеснения жидкости в том же перколяционном кластере.
Различными оттенками серого цвета показаны поры, которые воздух занимает в последовательные моменты времени. И в эксперименте, и при численном моделировании число пор, заполненных воздухом, в последовательные моменты времени составляло 30 (черные), 86,