Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
а:
Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке есть
,
а наименьшее значение есть
График рассматриваемой функции изображен на рис. 8.
Рис. 8.
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Сначала найдем критические точки. Так как производная определена для любого , остается решить уравнение . Его корни и .
Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел , и . Ясно, что наименьшее значение достигается в точке 2 и равно -1, а наибольшее - в точке -2 и равно 4,5, т.е.
Задания для самостоятельной работы: найти наибольшее и наименьшее значение функций на указанных отрезках: а) на ; б) на ; в) на ; г) на ;
Урок 10.
Тема: Текстовые задачи на экстремум, решаемые с помощью производной.
Цели:
образовательная: рассмотреть некоторые типы задач, которые решаются с помощью производной;
развивающая: расширить кругозор учащихся;
воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.
Тип занятия: изучение нового материала.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи механики, динамики и т.д. Рассмотрим конкретный пример решения одной из таких задач.
Задача 1. Дальность (рис. 14) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью из орудия, наклоненному под углом к горизонту, определяется формулой
.
( - ускорение силы тяжести). Определить угол , при котором дальность будет наибольшей при начальной скорости .
Решение.
Рис. 9
Величина представляет собой функцию переменного угла . Исследуем эту функцию на максимум на отрезке .
критическое значение ;
,
.
Следовательно, при дальность полета имеет максимум
.
Значения функции на концах отрезка равны:
.
Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение дальности полета .
До сих пор мы находили наименьшие и наибольшие значения на отрезках, однако встречаются задачи, в которых требуется находить экстремальные значения на бесконечных интервалах, либо просто на интервалах. Рассмотрим различные случаи.
.. В этом случае поступать следует, так как это описано выше, т.е.
а) найти значение функции на концах отрезка и в критических точках;
б) если на отрезке одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на максимум и минимум и делают вывод.
2.. В этом случае следует поступать следующим образом:
а) вместо интервала берут отрезок и поступают, так как в п. 1а и если наибольшее значение достигается в концевой точке, то наибольшего значения нет;
б) если на наибольшее значение достигается внутри отрезка, то оно и будет наибольшим значением на интервале;
в) если на интервале одна критическая точка, то поступаем как в случае 1б.
.
Пусть , тогда:
а) если на этом промежутке более одной критической точки, то бесконечный интервал разбивается на два: конечный и бесконечный. На бесконечном промежутке помещают только одну критическую точку. Все остальные помещаются в конечный.
Рис. 10
б) если на бесконечном интервале одна критическая точка, то ее подвергают исследованию на минимум и максимум и делают вывод.
Задача 2. Какие размеры нужно придать цилиндру, чтобы при данном объеме его полная поверхность была наименьшей.
Решение. Обозначая через радиус основания цилиндра и через высоту цилиндра, будем иметь
.
Так как объем цилиндра задан, то при данном радиусе величина определяется формулой
откуда
.
Подставляя это выражение в формулу для , получим
Здесь - заданное число. Таким образом, мы представили как функцию одного независимого переменного .
Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке :
.
Следовательно, в точке функция имеет минимум. Заметив, что и , т.е. что при стремлении к нулю или к бесконечности поверхность неограниченно возрастает, приходим к выводу, что в точке функция имеет наименьшее значение.
Но если , то
.
Таким образом, для того, чтобы при данном объеме полная поверхность цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться диаметру.
Часто также встречаются текстовые задачи на экстремумы, особенно на вступительных и выпускных экзаменах и, в частности ЕГЭ. Алгоритм решения таких задач выглядит так:
1.укажите в задаче все постоянные величины, переменные величины и величину, которая исследуется;
2.из всех переменных величин одну выбрать за независимую и указать область ее изменения;
.величину исследуемую задачей выразить через выбранную независимую переменную
4.найдите критические точки полученной функции на области изменения е аргумента
.найдите наибольшее или наименьшее значение этой функции
.выбрав наименьшее или наибольшее значение, ответьте на вопрос задачи.
Задача 3. Корабль отстает от берега (точка А) на расстоянии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением в штаб В, находящегося от точки А по берегу на расстоянии 10 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в кратчайшее время. Если .
Решение.
Рис. 11.
1)АВ, АК, ;
АМ, МВ, КМ - переменные величины;
2);
);
4)Н