Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
.
Составляем отношение :
.
Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:
.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна
.
Задача 2. Дана функция , найти ее производную .
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, получаем:
, ,
,
,
.
Задача 3. Дана функция , найти ее производную .
Решение. Дадим аргументу приращение , тогда
,
,
,
,
Учитывая, что есть непрерывная функция, окончательно получим:
.
Задача 4. Дана функция . Найти ее производную .
Решение. Дадим аргументу приращение , тогда
,
Но так как
,
то
.
Урок 2.
Тема: Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.
Цели:
образовательная: рассмотреть таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования;
развивающая: углубить знания по теме;
воспитательная: формирование математически грамотной речи.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Укажем, вначале, производные основных элементарных функций:
.Производная функции , где - любое действительное число равна ;
.Функция имеет производную , причем, если дана функция , то ее производная равна ;
.Производная логарифмической функции равна , причем, производная функции равна ;
.Производные тригонометрических функций и равны соответственно и ;
.Производные тригонометрических функций и равны соответственно и .
Доказательство первой формулы выходит за рамки школьного курса математики. Следующие две формулы доказываются по правилу дифференцирования сложной функции. Производные синуса и косинуса были найдены нами ранее. Последние две формулы докажем ниже, после того как рассмотрим правила дифференцирования.
Основные правила дифференцирования:
1)производная постоянной равна нулю, т.е. где ;
)константу можно выносить за знак производной, т.е.
;
3)производная суммы равна сумме производных, т.е.
;
)производная частного: .
Доказательство этих свойств приводить не будем, отметим лишь, что все они доказываются на основании определения производной функции.
Задача 1. Найти производную функции
Решение. На основании таблицы производных, а также правил дифференцирования находим, что .
Задача 2. Найти производную функции .
Решение. Как известно . Тогда по правилу дифференцирования частного, получим:
.
Задача 3. Вычислите значение производной функции при .
Решение. Найдем производную данной функции:
Теперь найдем значение производной при .
Задача 4. Решите неравенство , если .
Решение. Найдем производную данной функции:
Теперь решаем неравенство:
,
.
Ответ: .
Урок 3.
Тема: Производная сложной функции.
Цели:
образовательная: рассмотреть правило нахождения производной сложной функции;
развивающая: расширить кругозор учащихся;
воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
На предыдущих занятиях мы рассмотрели производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции , хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требуется очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем
.
Для доказательства формулы надо при рассмотреть дробь и установить, что при . Введем обозначения:
Тогда .
при , т. к. дифференцируема в точке .
Далее доказательство проведем только для таких функций , у которых в некоторой окрестности точки . Тогда
при , т. к. при , а при , что выполнено при .
Задача 1. Найти производную функции .
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
.
Задача 2. Найти производную показательной функции .
Решение. Представим показательную функцию в следующем виде:
.
Докажем вначале, что . Найдем приращение функции :
.
Теперь найдем производную этой функции, пользуясь определением:
Теперь по правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Задача 3. Найти производную логарифмической функции .
Решение. Покажем вначале, что . По основному логарифмическому тождеству , т.е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция. Поэтому производные и равны, т.е.
Известно, что . Производную правой части вычисляем по правилу дифференцирования сложной функции: . Подставляя найденные производные в равенство , получим .
Теперь используя формулу перехода к другому основанию, получим: . Теперь найдем производную этой ф