Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?нкции:
.
Задача 4. Найти производную функции .
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Задания для самостоятельной работы: найти производные функций: а)
; б) ; в) ; г) ; д) ;
Урок 4.
Тема: Касательная к графику функции.
Цели:
образовательная: рассмотреть понятие касательной и ее уравнение;
развивающая: углубить знания по теме;
воспитательная: формирование умения анализировать.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Пусть мы имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т.д.
Рис. 1
Если при неограниченном приближении точки по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то прямая называется касательной к кривой в точке .
Кроме того, нетрудно установить, что значение производной , где - функция, задающая данную кривую, при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .
В этом заключается геометрический смысл производной.
Выведем теперь уравнение касательной к графику функции в точке .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
.
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку :
, откуда ,
значит, уравнение касательной имеет вид:
или
.
Задача 1. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках
Решение. Используя геометрический смысл производной, получим:
для точки : ;
для точки : .
Задача 2. Найти уравнение касательной к касательной к графику функции в точке с абiиссой 2.
Решение. Здесь . Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим:
т.е.
.
Задача 3. вывести уравнение касательной к параболе в точке с абiиссой .
Решение. Имеем , а . Подставляя эти значения в уравнение касательной, получаем , т.е. . Например, при получаем касательную, имеющую уравнение .
Найдем координаты точки пересечения касательной к параболе в точке осью абiисс. Если - координаты точки , то, поскольку принадлежит касательной, имеем . Если , то .
Полученный результат дает простой способ построения касательной к параболе к любой ее точке (кроме вершины): достаточно соединить точку с точкой , делящий отрезок оси с концами 0 и пополам; прямая - искомая касательная. При касательная - ось абiисс.
Урок 5.
Тема: Приближенные вычисления с помощью производной.
Цели:
образовательная: рассмотреть приближенные вычисления с помощью производной;
развивающая: развитие алгоритмического мышления;
воспитательная: воспитание умения анализировать полученное решение.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции
в точке . Значение в близкой к 2,02 точке находится легко: . График в окрестности точки 2 близок к прямой
- касательной к нему в точке с абiиссой 2. Поэтому . Имеем
.
Вычисление на калькуляторе дают результат .
Вообще для дифференцируемой в точке функции при , мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абiиссой ), т. е. при малых
Если точка такова, что значения и нетрудно вычислить то формула позволяет находить приближенные значения при , достаточно близких к . Так, при вычислении значения естественно взять в качестве число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения и при нетрудно найти: . По формуле при получаем:
.
Задача 1. Выведем из формулы приближенную формулу
.
Решение. Возьмем . Имеем , откуда . По формуле
.
В частности, .
Значение также можно найти по формуле:
.
Задача 2. Выведем из формулы приближенную формулу
.
Решение. Полагаем , и . Находим , откуда . По формуле
.
Например, . Значение , вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.
Задача 3. Для вычисления значения удобно воспользоваться формулой при :
.
Задача 4. Вычислить .
Решение. Для вычисления удобно взять , при этом . Имеем и
,
Т. е. . Вычисляя значение на калькуляторе, получаем .
Урок 6.
Тема: Признак возрастания и убывания функций.
Цели:
образовательная: рассмотреть признак возрастания и убывания функций;
развивающая: расширить кругозор учащихся;
воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
.Достаточный признак возрастания функции :Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на .
.Достаточный признак убывания функции : Если в каждой точке интервала , то функция убывает на .
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа. Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть . По формуле Лагранжа существует число , такое, что
.
Число принадлежит интервалу , т. к. все и принадлежат . Если для , то , и поэтому , т. к. . Этим док