Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика



?нкции:

.

Задача 4. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Задания для самостоятельной работы: найти производные функций: а)

; б) ; в) ; г) ; д) ;

Урок 4.

Тема: Касательная к графику функции.

Цели:

образовательная: рассмотреть понятие касательной и ее уравнение;

развивающая: углубить знания по теме;

воспитательная: формирование умения анализировать.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть мы имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т.д.

Рис. 1

Если при неограниченном приближении точки по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то прямая называется касательной к кривой в точке .

Кроме того, нетрудно установить, что значение производной , где - функция, задающая данную кривую, при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .

В этом заключается геометрический смысл производной.

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции в точке .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

.

Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку :

, откуда ,

значит, уравнение касательной имеет вид:

или

.

Задача 1. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках

Решение. Используя геометрический смысл производной, получим:

для точки : ;

для точки : .

Задача 2. Найти уравнение касательной к касательной к графику функции в точке с абiиссой 2.

Решение. Здесь . Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим:

т.е.

.

Задача 3. вывести уравнение касательной к параболе в точке с абiиссой .

Решение. Имеем , а . Подставляя эти значения в уравнение касательной, получаем , т.е. . Например, при получаем касательную, имеющую уравнение .

Найдем координаты точки пересечения касательной к параболе в точке осью абiисс. Если - координаты точки , то, поскольку принадлежит касательной, имеем . Если , то .

Полученный результат дает простой способ построения касательной к параболе к любой ее точке (кроме вершины): достаточно соединить точку с точкой , делящий отрезок оси с концами 0 и пополам; прямая - искомая касательная. При касательная - ось абiисс.

Урок 5.

Тема: Приближенные вычисления с помощью производной.

Цели:

образовательная: рассмотреть приближенные вычисления с помощью производной;

развивающая: развитие алгоритмического мышления;

воспитательная: воспитание умения анализировать полученное решение.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции

в точке . Значение в близкой к 2,02 точке находится легко: . График в окрестности точки 2 близок к прямой

- касательной к нему в точке с абiиссой 2. Поэтому . Имеем

.

Вычисление на калькуляторе дают результат .

Вообще для дифференцируемой в точке функции при , мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абiиссой ), т. е. при малых

Если точка такова, что значения и нетрудно вычислить то формула позволяет находить приближенные значения при , достаточно близких к . Так, при вычислении значения естественно взять в качестве число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения и при нетрудно найти: . По формуле при получаем:

.

Задача 1. Выведем из формулы приближенную формулу

.

Решение. Возьмем . Имеем , откуда . По формуле

.

В частности, .

Значение также можно найти по формуле:

.

Задача 2. Выведем из формулы приближенную формулу

.

Решение. Полагаем , и . Находим , откуда . По формуле

.

Например, . Значение , вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.

Задача 3. Для вычисления значения удобно воспользоваться формулой при :

.

Задача 4. Вычислить .

Решение. Для вычисления удобно взять , при этом . Имеем и

,

Т. е. . Вычисляя значение на калькуляторе, получаем .

Урок 6.

Тема: Признак возрастания и убывания функций.

Цели:

образовательная: рассмотреть признак возрастания и убывания функций;

развивающая: расширить кругозор учащихся;

воспитательная: поддержание интереса к урокам математики.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

.Достаточный признак возрастания функции :Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на .

.Достаточный признак убывания функции : Если в каждой точке интервала , то функция убывает на .

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа. Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть . По формуле Лагранжа существует число , такое, что

.

Число принадлежит интервалу , т. к. все и принадлежат . Если для , то , и поэтому , т. к. . Этим док