Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
В°зано возрастание функции на . Если же для , то ,
и поэтому , т. к. . Доказано убывание функции на .
Задача 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства следует, что , если . Решая это неравенство методом интервалов, получим, что на интервале , и, значит, на этом интервале возрастает.
Аналогично на интервалах и , поэтому на этих интервалах убывает.
Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Имеем
Точки 0 и 1 разбивают область определения на три интервала:
При функция возрастает;
При функция убывает;
При функция возрастает.
Задача 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Функция определена на всей числовой прямой и ее производная:
Поскольку , легко получаем, что для всех действительных .
Задача 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Производная функции равна:
Находим корни производной:
При имеем , т.е. на функция возрастает.
При имеем , т.е. на функция убывает.
При имеем , т.е. на функция возрастает.
Задания для самостоятельной работы: найти промежутки возрастания и убывания указанных функций: а) ; б) ; в) ; г) .
Урок 7.
Тема: Критические точки функции, минимумы и максимумы.
Цели:
образовательная: рассмотреть метод нахождения максимальных и минимальных значений функций;
развивающая: расширить кругозор учащихся;
воспитательная: формирование математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового материала.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Рассмотрим вначале понятия максимума и минимума функции.
Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала содержащего точку . Иначе говоря, функция имеет максимум при , если при любых , достаточно малых по абсолютной величине.
Так, например, функция , график которой изображен на Рис. 1, имеет максимум при
Рис. 2
Определение. Функция имеет минимум при , если
при любых , достаточно малых по абсолютной величине.
Например, функция (Рис 3) при имеет минимум, так как при и при других значениях .
Рис. 3
В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства:
.Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях , заключенных внутри рассматриваемого отрезка;
.Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Так, на рис. 3 изображена функция, определенная на отрезке , которая на этом отрезке
при и имеет максимум,
при и имеет минимум,
но минимум функции при больше максимума функции при . При значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке.
Рис. 4
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции или экстремальными значениями функции.
Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.
Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке минимум или максимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .
Из этой теоремы следует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция в этих точках параллельна оси . Действительно, из того, что , где - угол между касательной и осью , следует, что . (рис. 4)
Рис. 5
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум.
Кроме того, функция может достигать максимума или минимума в тех точках, где производная терпит разрыв. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв.
Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.
Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или критическими значениями.
Задача 1. Найти точки экстремума функции .
Решение. Производная этой функции равная , определена во всех точках и обращается в нуль при и . В точке производная меняет знак с минуса на плюс. В точке производная меняет знак с плюса на минус. Значит, при функция имеет минимум, а при - максимум.
Задача 2. Исследовать на максимум и минимум функцию
<