Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
p>
.
Решение. Находим первую производную:
Находим ее корни:
При переходе через значение производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при функция имеет максимум.
При переходе через значение производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при функция имеет минимум.
Задача 3. Найти наименьшее значение функции .
Решение. Эту задачу можно решить, используя производную функции. Однако эту задачу можно решить и элементарным способом, тем более применяемый здесь прием приемлем для решения многих типов задач.
Функцию представим в виде:
.
Числа являются положительными, поэтому
.
Отсюда следует, что , когда все члены равны между собой
Тогда .
Задания для самостоятельной работы: найти минимумы и максимумы функций: а) ; б) ; в) ; г) ;
Урок 8.
Тема: Применение производной к исследованию функций.
Цели:
образовательная: рассмотреть применение производной к исследованию функций;
развивающая: углубить знания по теме;
воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.
Тип занятия: изучение нового материала.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Задача 1. Исследовать функцию
.
Решение.
1)Находим первую производную:
.
2)Находим критические значения аргумента:
a) находим точки, в которых функция обращается в нуль:
.
b) находим точки, в которых производная терпит разрыв (в данном случае обращается в бесконечность). Такой точкой будет, очевидно, точка:
.
(отметим, что при рассматриваемая функция определена и непрерывна). Других критических точек нет.
3)Исследуем характер полученных критических точек. Исследуем точку
.
Заметим, что
, .
Заключаем, что при функция имеет минимум. Значение функции в точке минимума равно
.
Исследуем вторую критическую точку
.
Заметив, что
, ,
Заключаем, что при функция имеет максимум , причем
.
График исследуемой функции изображен на (рис. 6).
Рис. 6.
Задача 2. Исследовать функцию
.
Решение. Так как функция является периодической периода , то достаточно исследовать функцию на отрезке .
) Находим производную:
2) Находим критические значения аргумента:
, , , .
) Исследуем характер каждой критической точки:
.
Следовательно, в точке имеем максимум:
.
Далее, аналогично:
в точке имеем минимум:
при функция имеет максимум:
в точке имеем минимум:
На основании этих данных можем построить эскиз графика (рис. 7)
Рис. 7
Задания для самостоятельной работы: исследовать функции и построить их графики: а) ; б) ;
Урок 9.
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цели:
образовательная: рассмотреть нахождение наибольших и наименьших значений функции;
развивающая: расширить кругозор учащихся;
воспитательная: формирование способности анализировать, вести диалог с учителем, классом.
Тип занятия: комбинированный.
Вид занятия: практикум.
Материал к занятию.
Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке имеет место следующая теорема: если функция непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению
,
где - любая другая точка отрезка, и найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению
.
Тогда, по только что приведенной теореме, функция достигает на этом отрезке своего наибольшего значения. Будем предполагать, что на этом отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то очевидно, что это значение будет одним из максимумов (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.
Итак, функция на отрезке , достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума.
То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.
Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение функция на отрезке , то надо:
1.найти все максимумы на отрезке;
2.определить значения функции на концах отрезка , т.е. вычислить и ;
.из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке .
Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.
Задача 1. Определить на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции
.
Решение. 1) Находим минимумы и максимумы функции на отрезке :
,
В точке имеет место минимум:
.
В точке имеет место максимум:
.
) Определяем значение функции на концах отрезк