Разработка методики обучения учащихся по теме "Векторы на плоскости"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
/p>
При доказательстве соответствующей векторной теоремы рассмотренная задача может подсказать идею поиска доказательства, если векторы неколлинеарные: отложить рассматриваемые векторы от одной точки (рис.4) и применить к модулям векторов теорему косинусов.
СА = , СВ = , АВ = АС + СВ.
АВ = - С А + СВ; АВ = - .
С = ,
где - угол между векторами и . Равенство АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС ВС соsС теперь можно записать так:
(-) 2 = 2+ 2 + 2 соs.
К этому времени ученики уже должны уметь выражать разность векторов и. скалярные квадраты векторов через их координаты. Это позволяет выразить через координаты векторов их скалярное произведение.
Выполнив вычисления, получим нужное равенство.
п.2.9 Свойства скалярного произведения векторов
Полезно предложить записать, какими свойствами обладает произведение чисел и указать, какими из этих свойств может обладать скалярное произведение векторов.
Для наиболее эффективного запоминания этих свойств полезно будет провести закрепление одним из следующих способов:
) выборочно попросить учеников воспроизвести по одному из пунктов таблицы (отвечает один ученик по одному из пунктов, учёт ошибок и их исправление - весь класс);
) предложить по памяти записать (после изучения) таблицу в тетрадь, а затем показав снова таблицу на доске сделать проверку - верно ли была записана таблица.
п.2.10 Понятие координат вектора
Большие трудности у учеников при обучении по действующим учебникам вызывает понятие координат вектора. Особенно это относится к учебнику Погорелова, где оно введено предельно формально. Основной причиной затруднений является несоответствие сложившегося в сознании учеников понятия координат точки, которые "привязывают" ее к координатной плоскости, и тем, что бесконечно много направленных отрезков (векторов), расположенных в различных местах координатной плоскости, имеют одни и те же координаты. Эта трудность в большой мере снимается, если реализовать подход к введению понятия вектор который изложен в начале статьи: также как совершенно различные по написанию равные числа т.д. имеют одинаковые координаты на числовой прямой, различные "представители" одного и того же вектора имеют одни и те же координаты. Пара чисел, которая является координатами вектора, "привязывают" к координатной плоскости тот его "представитель", начало которого совпадает с началом координат.
п.2.11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями
Учитывая, что тригонометрические функции к моменту изучения векторов рассмотрены на примере прямоугольных треугольников, данный материал можно использовать как в качестве дополнительного изучения более сильными учениками, так и в качестве разнообразия уроков (но обращать внимание на планирование, дабы не нарушать общее поурочное расписание занятий).
Покажем, как, используя векторы, можно доказать, что, если углы откладываются от положительного направления оси абiисс и являются центральными углами окружности iентром в начале координат, то значения тригонометрических функций не зависит от радиуса окружности. Дело в том, что в учебнике Л.С. Атанасяна тригонометрические функции вводятся для единичной окружности, но при этом не поясняется, почему это возможно. В учебнике Погорелова понятие единичной окружности вообще не вводится, а оно широко используется, например, при изучении курса "алгебра и начала анализа".
Рассмотрим поиск доказательства того, что величина соs зависит только от угла а и не зависит от радиуса окружности (рис.5).
Дано: две окружности с общим центром в начале одной системы координат; радиус-вектор ОА повернут на угол .
В одной окружности:
В другой окружности:
Доказать:
. Чтобы соответствующие отношения были равны, у них должны быть одинаковые модули и одинаковые знаки.
Модули отношений, например, и равны,
если существует такое число , что СМ = С1М1; ОС =ОС1 На векторном языке это означает: надо доказать, что
. Точки М и М1, лежат на оси абiисс. Векторы коллинеарны, поэтому существует такое число , что ОМ = ОМ1.
Точки С и С, лежат на одной прямой, векторы ОС и ОС1, поэтому существует такое число р, что ОС = р ОС1.
По условию М 1С1 ? Ох и МС ? Ох и потому М1С1?? МС.
Векторы М1С1 и МС коллинеарны и потому существует такое число d, что МС= dM1C1
3. Чтобы доказать равенство соответствующих отношений, надо доказать, что равны числа , р и d. Для этого можно, например, доказать, что, если задать отношением , а затем отложить от точки М вектор М1С1, от точки О - вектор ОС1, то отложатся векторы МС и ОС.
. Если отложить от точки М вектор M1C1, то его концом будет какая-то точка, которую обозначим С2. Надо доказать, что С2 совпадает с С.
О точке С2 известно, что она лежит на прямой СМ, которая проходит через точку М и параллельна прямой С1М1, (вектор МС2 = М1С1 и поэтому коллинеарен вектору М1С1). Если удастся доказать, что точка С2 лежит на прямой ОС1, то тем самым будет доказано, что точки С и С2 совпадают: у прямых ОС1 и СМ только одна точка пересечения. Принадлежность точки прямой ОС, можно доказать, установив, что векторы ОС2 и ОС1 коллинеарны.
Действительно,
ОС2 = ОМ + МС2 = ОМ1 + M1С1,ОС2 = (ОМ1 + М1С1) = ОС,.
Следовательно, числа , р, d одинаковые. Тем са