Разработка методики обучения учащихся по теме "Векторы на плоскости"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
p>
Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку C (рис.7). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами и , материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором . Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор естественно назвать суммой векторов и : .
Рассмотренный пример выводит нас к понятию суммы двух векторов. Пусть и - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный (рис.8). Затем от точки B отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов и .
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 8 поясняет это название.
Докажем, что если при сложении векторов и точку А, от которой откладывается вектор =, заменить другой точкой А1, то вектор заменится равным ему вектором . Иными словами, докажем, что если = и =, то = (рис.9)
Допустим, что точки А, В, А1, точки В, С, B1 и точки А, С, А1 не лежат на одной прямой. Из равенства = следует, что стороны АВ и А1В1 четырёхугольника АВВ1А1 равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник - параллелограмм. Следовательно, =. Аналогично из равенства = следует, что четырёхугольникВСС1В1 - параллелограмм. Поэтому =. На основе полученных равенств заключаем, что =. Поэтому АА1С1С - параллелограмм, и, значит = , что и требовалось доказать.
Сумма векторов и обозначается так: + .
Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, приходим к выводу, что для любого вектора справедливо равенство + =
Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В, С - произвольные точки, то + = . Подчеркнём, что это равенство справедливо для произвольных точек, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.
п.2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства:
. +=+ (переместительный закон)
. (+) + =+ (+) (сочетательный закон)
Докажем это.
. Рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны. От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм ABCD, как показано на рисунке 10.
По правилу треугольника =+=+. Аналогично =+=+. Отсюда следует, что +=+.
. От произвольной точки А отложим вектор =, от точки В - вектор =, а от точки С - вектор = (рис.11). Применяя правило треугольника, получим:
(+) += (+) +=+=
+ (+) =+ (+) =+=.
Отсюда следует, что (+) + =+ (+). Теорема доказана.
При доказательстве первой части теоремы вводится так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм АВСD (рис.11). Тогда вектор равен +. Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.
п.2.3 Сумма нескольких векторов
Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Примером может служить построение суммы трёх векторов , , (рис.11): от произвольной точки А отложен вектор = , затем от точки В отложен вектор = и, наконец, от точки С отложен вектор = . В результате получается вектор = ++ . На основе этого ученики должны сделать вывод, что аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого количества векторов. Сделанный вывод целесообразно закрепить примером, рассмотрев рисунок, приведённый в учебнике (рис.12)
п.2.4 Вычитание векторов
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Разность векторов и с обозначается так: -.
Пусть - произвольный ненулевой вектор. Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены.
Вектор, противоположный вектору , обозначается: - . Очевидно, что + (-) = 0.
Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство
- = + (-)
3. Метод координат
п.3.1 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Лемма. Если векторы и коллинеарны и 0, то существует такое число k, что =k.
Пусть и - два данных вектора. Если вектор представлен в виде =x+y, где x и y - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по вектора и .
Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Глава II. Методические рекомендации
1. Поурочное планирование
№ урокаНазвание темыКол-во часовДата провед. Прим. 8 классIВекторы1Понятие вектора. 12Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки. Обучающая самостоятельная работа (12-15 мин.) 13Сумма двух векторов. Правило треугольника14Законы сложения векторов. Правило параллелограмма