Разработка методики обучения учащихся по теме "Векторы на плоскости"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?исловым значением, но и направлением на плоскости или в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8Н. На рисунке такую силу изображают отрезком со стрелкой (рис.1). Стрелка указывает направление приложенной силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы.
Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. На нём можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот (рис.1).
Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовём началом, а другой - концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.
Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая - конец (рис.2).
На рисунке 3, а изображены векторы
; точки - начала данных векторов, а - их концы. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис.3, б).
Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный вектор можно обозначить (рис.3, а). Нулевой вектор обозначается также символом . На рисунке 3, а ненулевые, а вектор нулевой.
Длинной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора (вектора ) обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .
п.1.2 Равенство векторов
Прежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому её можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М (рис.4). Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.
Этот пример подсказывает нам, как определить равенство векторов. Предварительно вводится понятие коллинеарных векторов.
Определение. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. Эти вектора называют соответственно сонаправленными и противоположно направленными, при этом используется следующее обозначение:
Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определённого направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условились считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.
Теперь, опираясь на вышесказанное, легко дать определение равных векторов.
Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
п.1.3 Откладывание вектора от данной точки
Если точка А - начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А (рис.5). Доказывается следующее утверждение:
От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один.
В самом деле, если - нулевой вектор, то искомым вектором является вектор . Допустим, что вектор ненулевой, а точки А и В - его начало и конец. Проведём через точку М прямую р, параллельную АВ (рис.6) (если М - точка прямой АВ, то в качестве прямой р возьмём саму прямую АВ). На прямой р отложим отрезки MN и , равные отрезку АВ, и выберем из векторов тот, который сонаправлен с вектором (на рис.6 вектор ). Этот вектор и является искомым вектором, равным вектору . Стоит обратить внимание на вывод о единственности такого вектора: такое заключение делается на основе рисунка.
Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек на рисунке 4. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
2. Сложение и вычитание векторов
п.2.1 Сумма двух векторов
Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную "геометрическую арифметику" - арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.