Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
i>x'u * ?u.
Но так как, по определению,
x'u ?u = dx,
то, следовательно,
dy = f '(x)dx.
4. Пример. Найти дифференциал функции:
_____________________
у = v (e2x1).
Решение. По формуле (III)
dy = у'*dx.
Находим у': ________ ________
y = e2x*2/( 2v (e2x1)) = e2x/ v (e2x1).
Значит _______
dy = e2x*dx/ v (e2x1)
5. Из формулы (III) следует;
f(x)=dy/dx,
т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где
dy/dx = PT/MP = tg?=f '(x)
для произвольного значения dx = MP.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1. Разность ?ydyбесконечно малая высшего порядка малости, чем ?x, поэтому при достаточно малом ?x
(IV)
Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.
Так как ?у = f(х + ?x)f (x), то, заменяя в формуле (IV) ?у его выражением, имеем: f(x+?x) - f(x) ? f '(x)* ?x
(V)
В математике производную применяют для:
- Исследования функции на монотонность, экстремумы.
- Нахождения касательной к графику.
- Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
- Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
- Для доказательства неравенств.
Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.
Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f (x)=g(x).
f(x) сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(xx101)/(1x). Значит,
g(x) = f (x) = ((1101x100)(1x)(xx100)(-1))/(1x)2=(1102x100+101x101)(1x)2.
Подставлю x = 1/3.
Ответ: 0,25(9205*3-99)
Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f (x)=g(x).
f(x) сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(xx101)/(1x). Значит,
g(x) = f (x) = ((1101x100)(1x)(xx100)(-1))/(1x)2=(1102x100+101x101)(1x)2.
Подставлю x = 3.
Ответ: ? 2,078176333426855507665737416578*1050.
Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9x2)/6 из точки M(4;3).
Решение.
т. A = укас1?OXРешение:
т. B = укас2?OXукас =y(x0)+у(x0)(xx0);
y = (9x2)/6y(x0) = -2x*1/6 = -x/3;
M(4;3)________т.к. укас проходит через M(4;3), то
SAMB ?3 = (9x02) (4x0)* x0/3 | *3
18 = 9x022x0(4x0);
x028 x09 = 0;
Д/4 = 16 + 9;
x0 = 4+5 = 9;
x0 = 45 = -1
укас1 = -12 (x9)*9/3 = -3x+15;
укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;
A(5;0); B(-5;0);
AM = v10 (ед.);
AB = 10 (ед.);
BM = 3v10 (ед.);
p полупериметр; __
p = (4v10 + 10)/2 = 2v10 + 5;
__ __ __ __ __ __
S = v(2v10 + 5) (2v10 + 5v10) (2v10 + 53v10) (2v10 + 510) =
= v(2v10 + 5)(v10 + 5)(53v10)(2v105) =
= v(4025)(2510) = 15 (ед2);
Ответ: 15 (ед2).
Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).
Решение:
-x, x<0
y =
0, x>0
A(a;-a); B(b;0);_
AO = |a|v2 = -av2 (т.к. a<0);
BO = b;
Для т. B:
у1 = kx +z;
т.к. у1график линейной пропорциональности, проходящий через т M(0;1), то z = 1.
0=kx+1;
k=-1/b;
Для т. A:
у1=kx+1;
-a=kx+1;
k=(-1-1a)/a;
у1A= у1B
(-aa)/a = -1/b;
b+ab=a;
a(1b)=b;
a = b/(1-b);
S?AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB
AOB =180o45o = 135o
S?AOB=0,5*(v2/2)* (-a)bv2 = -ab/2;
S?AOB = -b2/(2(1b)) = b2/(2(1b)); D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует ?AOB.);
т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:
S = (4b(b