Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
ить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.
R1 = 9 R2Решение:
При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;
Rэкв max ? выражу R3 через R2:
R3 = R R1R2=R10R2;
тогда 1/Rэкв = (10R91R2)/(9R2(R10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:
(1/Rэкв) = -910(R2R/7)(R2R/13)/(9R22 (R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэкв max = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + ?H), где ? = const (черт.).
Решение. Пусть n нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,
Ф = BS = B0(1 + ?H)S, где S = ?d2/4 площадь контура.
ЭДС индукции, возникающая в кольце,
E = - Ф(t) = - (B0(1 + ?H)S) = - B0S?H(t).
Производная H(t) = ?н это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,
Ei = - B0S?( - ?н).
Так как скорость кольца направлена против оси H, то ?н = - ?, где ? модуль скорости кольца и Ei = B0S??.
По кольцу протекает индукционный ток
J = Ei /R = B0S??/R.
В результате в кольце за промежуток времени ?t выделяется количество теплоты
Q = J2R?t.
На высоте H1 кольцо обладает механической энергией
W1 = mgH1 + m?2/2,
на высоте H2
W2 = mgH2 = mgH2 + m?2/2
(? = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии
W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2R?t => mg(H1 - H2) = (B0S??/R)2R?t =>
mg(H1 - H2) = (B0S??)2?t/R (*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = ??t, и уравнение (*) примет вид:
mg??t = (B0S??)2?t/R => mg = (B0S?)2?/R =>
? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.
Ответ: ? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
Jn-(kE(Rkr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = vkr/R = v3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = F
P импульс системы платформа-песок, F сила, действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t:
p = (M+(t+t))(u+u) (M+t)u =Ft
где u скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращени