Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
°ния:
y' = 60 - 4x.
y'>0, и функция возрастает, когда x15.
Если ширина х =
0
5
10
15
20
25
30
то площадь y =
0
250
400
450
400
250
0
Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.
Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 2x = 60 -- 30=30 (м)
2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?
Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:
Y=2(x+36/x)=2x+72/x.
Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:
0<x<+?
Определим промежутки ее возрастания и убывания:
y=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.
Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке
00.
Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+?. График (черт.) построим по таблице:
Если х =
>0
3
4
5
6
7
8
>?То у =
>?
30
26
24,4
24
24,3
25
>?Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.
Максимум и минимум функции
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.
Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".
Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.
Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x 2х2 (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь
максимум и минимум, как, например, функция у = х3 х2 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y = ax не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от ? до +? первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.
Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1М1 и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c2m1, и c4m2, минимум c4m2 больше максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.
Признаки существования экстремума
1. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2? точки х=с:
1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с ?x:, а правой в виде с+ ?x, где 0< ?x < ?. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с ?x), а в правой f(c + ?x). Значения f(x) в окрестности 2? точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений ?x, причем значение х = с -/+ ?x неограниченно приближается к числу с, если ?x стремится к нулю.
По определению максимума функции:
f(c- ?x)<f(c) и f(c + ?x)<f(c).
Отсюда:
f(c-?x)-f(c)<0 и f(c + ?x)-f(с)<0.
Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на ?x и + ?x. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:
(f(c ?x)f(с))/(-?x))>0 (1); (f(с + ?x)f(с)/(+?x))<0 (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при ?x > 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:
Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,
f(c) = 0,
что и требовалось доказать.
2. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2? точки x = с:
1) функция f(x) неп?/p>