Продольные акустические волны в жидких и газообразных средах
Контрольная работа - Физика
Другие контрольные работы по предмету Физика
Продольные акустические волны в жидких и газообразных средах
1. Основные величины
Остановимся сначала на физических величинах, характеризующих звуковое поле в газах и жидкостях. Наличие областей сжатия и разрежения среды приводит к тому, что давление и плотность в каждой точке будут меняться согласно волновому процессу. Переменные давление и плотность среды представим в виде.
где - постоянные равновесные давления и плотность (в отсутствии волны);
- мгновенные давление и плотность, которые в моменты сжатия среды больше , в моменты разряжения меньше ;
- переменные давление и плотность самой акустической волны
()
В звуковом диапазоне на частоте
(ухо человека весьма чувствительно к этой частоте)
амплитуда акустического давления на пороге слышимости уха (слабый звук)
.
На той же частоте на пороге болевого ощущения (сильный звук) амплитуда акустического давления Па. В системах связи и вещания имеют дело с акустическим давлением, амплитуда которого, по крайней мере, в тысячу раз меньше, чем нормальное атмосферное давление.
Так как давление неодинаково в соседних точках среды, то ее частицы стремятся сместиться в сторону минимального давления, и возникает колебательное движение частиц около своего положения равновесия. Колебательную скорость частиц представим в виде:
,
где - смещение колеблющейся частицы относительно положения равновесия.
Колебательная скорость частиц значительно меньше скорости распространения акустической волны. На частоте равной
при амплитуде акустического давления (порог
болевого ощущения) амплитуда колебательной скорости , а смещение . Отношение скорости частиц к скорости волны называется акустическим числом Маха.
где - скорость акустической волны.
Акустическое число Маха всегда меньше единицы. При скорости звука в воздухе при температуре 18 C и колебательной скорости имеем , то есть малая величина даже при таком сильном звуке.
Три величины - акустические давление и плотность, колебательная скорость (гидродинамические параметры), изменяясь во времени и в пространстве, определяют волновой процесс в упругих жидких и газообразных средах.
. Основные уравнения
Рассмотренные выше величины входят в волновые уравнения, которые являются следствием уравнений гидродинамики, последние рассмотрим в краткой форме. Среда безгранична и идеальна, т.е. без учета потерь, связанных с вязкостью и теплопроводностью среды. Уравнение движения сплошной среды (уравнение Эйлера):
(1)
Уравнение непрерывности (закон сохранения массы вещества):
(2)
Запишем эти уравнения для звуковых волн малой амплитуды, представив переменное давление и плотность в виде:
(3)
Изменения давления и плотности в звуковой волне малы (, ). Подставляя (3) в исходные уравнения (1) и (2) и пренебрегая величинами второго порядка малости относительно , получим линеаризованные уравнения гидродинамики для акустических величин:
Уравнение движения сплошной среды (уравнение Эйлера):
(4)
Уравнение непрерывности (закон сохранения массы вещества):
(5)
Последнее уравнение, которое замыкает систему уравнений гидродинамики есть уравнение состояния. Малые возмущения давления и плотности в акустической волне связаны соотношением
(6)
Уравнение (6) в линейной форме (для малых деформаций) есть уравнение упругости Гука при всестороннем сжатии
(7)
где - модуль объемной упругости.
Подставим выражение из (6) в уравнение непрерывности (5), получим
(8)
Так как колебательная скорость мала, то в большом числе случаев вихревое движение отсутствует и . По этой причине колебательная скорость может быть представлена в виде градиента скалярного потенциала
(9)
Подставляем (9) в уравнение движения среды (4)
,
найдем выражение, связывающее акустическое давление и скалярный потенциал
(10)
Колебательную скорость (9) и звуковое давление (10) подставляем в уравнение (8) и получаем волновое уравнение для скалярного потенциала
(11)
где - фазовая скорость акустической волны
(12)
С учетом выражения (7) получаем формулу для расчета скорости продольной акустической волны
(13)
Это выражение остается справедливым и для расчета скорости продольной волны в твердой среде. При температуре t=0 C в воздухе Па,
кг/м3, С=331,2 м/с; в воде Па, кг/м3, С=1500 м/с;
в сапфире Па, кг/м3, С=11,1 км/с. Можно использовать формулу расчета скорости в следующем виде:
(14)
где - коэффициент сжатия.
В газообразных средах фазовую скорость продольной акустической волны можно рассчитать и по формуле
(15)
где - отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.
R=()- газовая постоянная
T - температура в Кельвинах
Для воздуха , , скорость звука равна .
При любой другой температуре
(16)
При увеличении температуры на 1 скорость звука увеличивается на 0.6 м/с. Газы легко деформируем