Продольные акустические волны в жидких и газообразных средах
Контрольная работа - Физика
Другие контрольные работы по предмету Физика
ы, модуль объемной упругости b мал, и скорость волны в газах меньше чем, в других средах. В расчетные формулы скоростей (13), (14), (15) не входит частота, и продольные волны не обладают дисперсией.
Волновое уравнение для скалярного потенциала , связь потенциала с колебательной скоростью и акустическим давлением формулируют задачу распространения продольных акустических волн в жидких и газообразных средах
, , (17)
3. Волновое уравнение. Акустическое сопротивление
Для поля гармонического во времени, используя комплексное представление, волновое уравнение (11) примет более простой вид :
(18)
где
волновое число, постоянная распространения.
Уравнение (18) называется уравнением Гельмгольца.Всякое решение уравнения Гельмгольца представляет собой распространяющуюся гармоническую волну. Поверхность, на которой колебания частиц происходят в фазе, называется фронтом волны. По форме фронта (сфера, цилиндр, плоскость) волны называются сферическими, цилиндрическими, плоскими.
Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например вдоль оси x, уравнение (18) принимает вид :
,(19)
а его решение с учетом временного множителя
Если плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении , то тогда
где - углы между направлением и положительными осями .
По известному потенциалу
вычислим колебательную скорость и акустическое давление
(20)
(21)
В бегущей волне колебательная скорость имеет одну компоненту , это значит, что частицы среды в волне колеблются в направлении ее распространения, т.е. акустическая волна является продольной. Согласно (20), (21) акустическое давление и колебательная скорость прямо пропорциональны частоте.
Проведем аналогию акустических величин с электрическими. И хотя эта аналогия формальна, поскольку природа механических и электрических явлений различна, но в ряде случаев использование этой аналогии оказывается полезной. Акустическое давление, как разность мгновенного и постоянного давлений, вызывает движение частиц среды. Разность потенциалов является причиной движения электрических зарядов и в этом смысле акустическое давление аналогично разности потенциалов. Колебательная скорость частиц аналогична скорости движения зарядов, и колебательную скорость можно поставить в соответствие току. Тогда аналогично сопротивлению вводится акустическое волновое сопротивление:
(22)
где - сдвиг по фазе между давлением и скоростью частиц
В бегущей плоской волне колебательная скорость (20) и давление (21) синфазны и акустическое сопротивление равно
.
Для воздуха (нормальное атмосферное давление и ):
Плоские волны создает, например, круглая пластинка радиусом , которая совершает колебания, перпендикулярные своей плоскости. На расстояниях фронт уже не будет плоским, волна начнет расходиться. Другой пример плоских, но уже нерасходящихся волн это распространение звука в жесткой трубе с поперечным сечением меньшим .
Пусть звуковая волна излучается точечным источником, его размеры меньше длины волны. Волна распространяется в однородной среде равномерно по всем направлениям, т.е. потенциал зависит только от расстояния от источника и не зависит от угловых координат . В этом случае мы имеем дело со сферической волной, для которой волновое уравнение принимает вид :
Объединяем два первых слагаемых и получаем уравнение
,(23)
совпадающее с одномерным волновым уравнением (19). Решение уравнения (23) представляет две сферические волны - расходящаяся волна (бегущая по радиусу ) и сходящаяся (бегущая против ). Для сферической волны бегущей по радиусу имеем
(24)
где - постоянная, зависящая от условий задачи.
В отличии от плоской волны амплитуда сферической волны убывает с расстоянием по закону . Найдем акустическое давление
(25)
Колебательную скорость вычислим по известной формуле
Выделив действительную часть и сделав в ней замену
получим
(26)
(27)
Сравнивая давление и скорость (25) и (26) видим, что для сферической волны колебательная скорость отстает по фазе от давления на величину , определяемую формулой (27). Разность фаз быстро уменьшается с расстоянием и с увеличением частоты. Модуль акустического сопротивления равен
и не превышает сопротивления плоской волны. В дальней зоне сдвиг фаз , и связь между скоростью и акустическим давлением такая же, как и для плоской волны.
У цилиндрической осесимметричной волны амплитуда обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от источника, акустическое сопротивление равно
, и
Сдвиг фаз между акустическим давлением и колебательной скоростью появляется только у расходящихся (сходящихся) сферических и цилиндрических волн. Условно это можно пояснить следующим образом. У расходящейся волны слои среды, заключенные между соседними фронтами (например, на расстоянии ) имеют разные массы. Первый слой сталкивается со вторым большей массы, отдает ему энергию и двигается назад, т.е. часть энергии отражается и появляется реактивная составляющая у энергии и у акустического сопротивления. Чем дальше от источника массы слое