Приложения дифференциальных уравнений в естествознании
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Курсовая работа
Приложения дифференциальных уравнений в естествознании.
Оглавление
Введение
.Дифференциальные уравнения
.Линейные дифференциальные уравнения
.Приложения дифференциальных уравнений в естествознании
.Простейшая модель однородных популяций
4.1Модель нормального размножения или мальтузианская модель
5.Нелинейные модели
5.1Логистическая модель
6.Задача о квоте
6.1Отлов с постоянной квотой
6.2Отлов с относительной квотой
Заключение
Список литературы
Введение
Искусство математического моделирования состоит в умении адекватно перевести реальную задачу на математический язык, не теряя при этом основных свойств оригинала. Математические модели дают возможность установить качественные и количественные характеристики состояния процесса, увидеть общность процессов различной природы.
В данной работе будет показано, как с помощью дифференциальных уравнений можно решать задачи из различных областей знаний, а именно - задачи естествознания.
1. Дифференциальные уравнения
В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, связывающие производные некоторой функции (первую, вторую и т. д.) саму эту функцию и независимую переменную.
Например, согласно второму закону Ньютона при движении по прямой материальной точки постоянной массы m справедлива формула F= ma, где F - сила, вызывающая движение, а- ускорение точки. Пусть F зависит только от времени t, т.е. F= F(t) . Вспоминая, что ускорение есть вторая производная координаты по времени ( a(t) =), получаем дифференциальное уравнение относительно функции x(t):
,
для решения которого сначала находим как первообразную функции , а затем и как первообразную функцию v(t) = . Общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают координату и скорость в какой-то момент времени t.
Определение. Уравнение вида , (1) где у = у(х) - искомая функция, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Любая функция y = , обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения.
Если в обычных уравнениях, решаемых в школе, требуется найти численные значения некоторой переменной, то в дифференциальном уравнении искомой является функция, причём в уравнение входит производная этой функции. Простейшими являются уравнения показательного роста (или убывания)
= ky, (2)
где у = у(х) - неизвестная функция, k? 0 - заданная постоянная, и уравнение гармонических колебаний
, (3)
где у - опять неизвестная функция, >0 - постоянная.
В различных областях человеческой деятельности возникают задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач и методику их решения можно описать примерно так . Изучается какой-нибудь процесс - физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени какой-то характеристики этого процесса, то есть некоторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много сведений о течении этого процесса, мы можем попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях из экспериментальных данных или из физических и прочих законов удаётся получить информацию о скорости изменения величины у = у(t) в зависимости от времени t, то есть от производной . Эта информация обычно может быть записана в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией у = у(t). Получающееся уравнение как раз и описывает наш процесс с точки зрения его характеристики у. Отыскав все решения дифференциального уравнения - само по себе это уже чисто математическая задача, мы находим все возможные варианты изменения величины у. Отметим, что при математическом описании всегда приходится делать некоторые упрощающие предположения, пренебрегать теми или иными побочными явлениями, принимать идеальные условия - одним словом, абстрагироваться от конкретных деталей. Это приводит к известным ограничениям в применимости построенной модели.
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому естественно разработать методы решения таких уравнений безотносительно к тем задачам, которые привели или могут привести к ним. Этим как раз и занимается математическая теория дифференциальных уравнений.
Если какая-нибудь задача сводится к дифференциальному уравнению, методы решения которого уже известны, то эту задачу можно считать решённой. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй же этап - отыскание решений уравнения - будет представлять собой хотя и важную, но чисто техническую задачу.
Начнём наше знакомство с самых простых дифференциальных уравнений - линейных.
дифференциальное уравнение популяция естествознание
2. Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение = ky называется линейным, поскольку неизвестная функция у и её производная входят в него линейным образом. Известно, что любое решение этого уравнения записывается в виде
, (4)
где А - произвольная постоянная.
Оказывается, если на координатной плоскости изобразить графики этих решений при всевозможны