Приложения дифференциальных уравнений в естествознании
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
х А, то они покроют всю плоскость, причем через каждую точку плоскости пройдет в точности один из графиков. Плоскость оказывается как бы сотканной из графиков. (рис. 1)
Рис. 1
Докажем это, для чего найдём среди функций вида (4) все те, графики которых проходят через данную точку координатной плоскости. Для определения постоянной А получаем уравнение , которое имеет единственное решение .
Следовательно, через нашу точку проходит один и только один из графиков (4) - это
(5)
Полученный нами факт часто формулируют следующим образом: дифференциальное уравнение = ky имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , это решение задается формулой (5).
Более общее линейное дифференциальное уравнение записывается в виде
= ky+а (6)
где а (как и k) - постоянная. Уравнение (6) легко сводится к уже исследованному уравнению (2):
если правую часть записать в виде
(напомним, что мы считаем k? 0) и обозначить функцию через z, то
.
Таким образом, функция z(x) = y(x) + a/k удовлетворяет уравнению , поэтому ,
то есть =, откуда
у(х) = +. (7)
Значение постоянной опять-таки однозначно определяется, если задано начальное условие .
Определение. Линейное дифференциальное уравнение y' = f(x, у) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить виде
' = f1(x)•f2(у) (8)
где f1(x)и f2(у) - непрерывные функции.
Предположим, что f2(у)?0. Тогда уравнение (8) можно записать так:
. (9)
Интегрируя почленно уравнение (9), получим общее решение уравнения (8):
.
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно использовать алгоритм:
1.разделить переменные;
2.интегрируя уравнение с разделёнными переменными, найти общее решение данного уравнения;
.если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее данным условиям.
Пример. Решить уравнение 5х3-у?=0.
Решение: это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в следующем виде:
у?=-5х3.
Разделив переменные, получаем:
=5x3dx.
Проинтегрируем полученное уравнение:
Общее решение уравнения :
Ответ: .
3. Приложения линейных дифференциальных уравнений в естествознании
Рассмотрим процесс, исследование которого сводится к линейному дифференциальному уравнению, то есть к применению вышеизложенной теории.
М о д е л ь р о с т а п о п у л я ц и й б а к т е р и й .
Пусть N(t) -численность размножающейся популяции бактерий в момент времени t. При идеальных условиях приращение численности ?N(t) = N(t + ?t) - N(t) за время от t до t - ?t для многих видов бактерий можно считать примерно пропорциональным количеству имеющихся в момент времени t бактерий; кроме того, при малых ?t приращение ?N(t) должно быть примерно пропорциональным ?t. Таким образом, при сделанных допущениях можно записать
?N(t) ? kN(t) ?t,
где k>0 - коэффициент, зависящий от вида бактерий. Итак,
.
Отвлекаясь от того, что численность может измеряться только целыми числами, будем считать, что N(t) изменяется во времени непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем меньше ?t, после перехода в нем к пределу при ?t>0, получим дифференциальное уравнение вида (2):
.
Следовательно, N(t)= . Так что, численность популяции возрастает по показательному закону. Если при этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие
(0) = , то, следуя формуле (5), можно записать(t)= .
Дифференциальные уравнения являются одним из самых мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественнонаучного цикла: физики, химии, биологии, экологии.
Рассмотрим конкретный пример.
Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до 200.
Решение. Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.
Пусть х - количество бактерий в данный момент, тогда скорость изменения их количества равна производной . Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует k, что Разделяем в дифференциальном уравнении переменные: Интегрируя, получаем:
что после потенцирования даёт
Для нахождения С используем начальное условие: при t=0, х=100. Имеем:Се=100, С=100, и, значит, х=100 . Коэффициент находим из условия: приt=3, х=200: Искомая функция: . При t=9, х=800.
Ответ: количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.
4. Простейшая модель однородных популяций
Рассмотрим водоем, в котором при обычных природных условиях может проживать некоторое известное количество карасей. Пусть в начальный момент времени оно равно . Необходимо определить функцию y=y(t), описывающую число карасей в момент времени t.
Выберем систему отсчета так, чтобы количество рыбы, находящееся в водоеме, при отсутствии промышленного отлова, было равно 1. Тогда начальное количество может быть больше единицы, меньше единицы или же равно ей.
Рассмотрим некоторые возможные модели. Сначал