Приложения дифференциальных уравнений в естествознании
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
а изучим случай, когда промышленный отлов рыбы отсутствует.
.1 Модель нормального размножения или мальтузианская модель
Это простейшая модель, когда караси не мешают друг другу, корма хватит всем. В этом случае скорость прироста карасей пропорциональна количеству особей, то есть , где k - коэффициент пропорциональности, k>0. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Поле направлений и интегральные кривые для уравнения нормального размножения изображены на графике. Однако через некоторое время карасей станет настолько много, что им станет тесно и не будет хватать корма. Дальнейший прирост популяции уже не будет удовлетворять уравнению (*), и мы приходим к нелинейному случаю.
5. Нелинейные модели
.1 Логистическая модель
Если водоем с карасями невелик, или если число карасей в большом водоеме сильно возросло, то конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент k линейно зависит от числа карасей, то есть k(y)= m-by. Таким образом, приходим к уравнению размножения с учетом конкуренции, или так называемому логистическому уравнению:
(**)
Его общее решение имеет вид:
.
Если скорость прироста карасей равна нулю, то их численность в пруду с течением времени не меняется. Такое состояние называется равновесным или стационарным состоянием. Оно соответствует точке покоя уравнения (**). В данной модели ненулевое стационарное состояние где . Стационарное состояние может быть устойчивым и неустойчивым. Если малейшие колебания системы выводят систему из равновесного состояния, то такое состояние будет неустойчивым, если же со временем система возвращается в положение равновесия, то такое состояние будет устойчивым. То есть если интегральные кривые, соответствующие условиям y(0), которые меньше или больше стационарного состояния , с течением времени приближаются к стационарному состоянию, то стационарное состояние будет устойчивым (равновесным).
Поле направлений и интегральные кривые для логистического уравнения изображены на рисунке. Видно, что процесс имеет два стационарных состояния: . Стационарное состояние y=0 неустойчивое, а стационарное состояние устойчивое. Каким бы ни было начальное число карасей, с течением времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия .
6. Задача о квоте
До сих пор мы рассматривали свободную популяцию карасей, развивающуюся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что карасей вылавливают, скорость отлова назовем квотой.
.1 Отлов с постоянной квотой
Сначала рассмотрим случай, когда квота постоянна. Приходим к дифференциальному уравнению отлова
Величина характеризует разрешаемую величину отлова, то есть квоту.
Выберем масштаб так, чтобы коэффициенты m=b=1. Получим уравнение Риккати
являющееся уравнением с разделяющимися переменными
.(***)
В зависимости от значения уравнение (***) имеет различные решения. Найдем их.
). 0<<1/4. В этом случае общее решение имеет вид :
.
Используя начальное условие , получим, что
Если в начальный момент времени число популяции удовлетворяло уравнению , то в некоторый момент времени Т возможно, что популяция исчезнет, то есть y(Т)=0, Т>0. В данном случае существуют два стационарных режима. Один из них достигается при С=0. Это будет прямая Данное состояние неустойчиво, меньшая популяция неизбежно погибнет с течением времени. Другое стационарное состояние
будет устойчивым, это режим, на который выходит популяция при постоянной квоте отлова
). . В этом случае уравнение имеет вид
и имеет общее решение
.
Используя начальное условие , получаем решение
При условии Если , то С>0 и y>1/2 в начальный момент времени t=0. С течением времени количество особей приближается к . Когда , имеем С<0 и y<1/2. В этом случае найдется такой момент времени
,
что численность карасей станет равной 0, то есть неизбежно произойдет катастрофа - популяция исчезнет .
Если же , то имеем y=1/2 - установившийся режим лова. Эта точка покоя неустойчива, так как при верхние гиперболы, соответствующие случаю , стремятся к 1/2, тогда как нижние (для 0 < ) уходят в 0.
Отлов с квотой при достаточно большой начальной популяции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако реально данная квота недопустима, так как малое колебание численности установившейся равновесной популяции вниз (например, воздействие каких-либо неучтенных факторов) ведет к полному вылову популяции за конечный промежуток времени.
). . Общее решение уравнения (***) принимает следующий вид
.
Учитывая начальное условие , получаем, что
.
Причем при любой начальной численности и квоте, удовлетворяющей условию , найдется такой момент времени Т, что y(T)=0, то есть положений равновесия нет, все караси будут отловлены за конечное время.
Итак, теоретически возможны любые квоты , вплоть до максимальной, но практически недопустимы квоты, близкие к , так как в этом случае даже небольшие отклонения приводят к вымиранию популяции. Именно поэтому данную жесткую модель лучше заменить более мягкой моделью и организовать отлов так, чт?/p>