Преобразование Фурье и его некоторые приложения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Содержание
Введение
Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции
Преобразование Фурье
Примеры нахождения преобразования Фурье
Некоторые свойства преобразования Фурье
Сверстка и преобразование Фурье
Спектр
Некоторые приложения
Литература
Введение
Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, проделать которое наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха строит преобразование, представляя звук как колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах - в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.
Аналогичные операции можно производить с помощью математических методов над звуковыми волнами или практически над любыми другими колебательными процессами - от световых волн и океанских приливов до циклов солнечной активности. Пользуясь этими математическими приёмами, можно раскладывать функции, представляя колебательные процессы в виде набора синусоидальных составляющих - волнообразных кривых, переходящих от максимума к минимуму, затем опять к максимуму, подобно океанской волне.
Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.
Первым человеком, поведавшим миру об этом методе, был французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, именем которого и было названо преобразование. В 1789 году он вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.
Преобразование Фурье используется во многих областях науки - в физике, теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей, статистике, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других.
Благодаря широкому применению метода Фурье и сходных с ним аналитических методов мы и сегодня можем повторить с полным основанием то, что лорд Кельвин сказал в 1867 году: "Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа, но и дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики".
Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции
Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции
(1)
интегральная формула Фурье.
Вначале введем понятие главного значения интеграла. Пусть функция интегрируема на любом отрезке числовой прямой.
Определение 1.1. Если существует конечный предел
, ,(1.1)
то этот предел называется главным значением интеграла и обозначается: v.p. (главное значение - по французки valeur principale)
(1.2)
Замечание 1.1. Определение 3.1 есть частный случай определения несобственного интеграла
, (1.3)
если .
Если существует несобственный интеграл (1.3), то и существует для этой функции и главное значение интеграла (1.2) и оно совпадает с указанным несобственным интегралом. Обратное утверждение в общем случае неверно, например:
,
но несобственный интеграл расходится (обосновать).
Преобразуем интегральную формулу Фурье (1)
,(1.4)
(1.5)
.(1.6)
Замечание 1.2. В дальнейшем формулы будем записывать, понимая несобственные интегралы в смысле главного значения интеграла, не помечая это символами v.p. в отдельных случаях.
Если функция - четная, то интегральная формула Фурье будет иметь вид правой части (1.4), где ; если же функция - нечетная, то в правой части (1.4) будет .
Дальше заметим, что
.(1.7)
Сложив (1.7) с интегральной формулой Фурье (1), получим интегральную формулу Фурье в комплексной форме
. (1.8)
Преобразование Фурье
Запишем правую часть формулы (2.8) в виде
.(2.1)
Положим:
.(2.2)
Определение 2.1. Функция называется преобразованием Фурье функции .
Замечание 2.1. Если функция , то для нее преобразование Фурье определено и в смысле обычного определения несобственного интеграла, так как .
Формулу
с учетом определения 2.1. можно записать следующим образом
.(2.3)
Эта формула называется формулой обращения, а функцию
.(2.4)
называют обратным преобразованием Фурье функции и обозначают .
Замечание 2.2. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определены на множестве функций, для которых соответственно интегралы (2.2) и (2.3) существуют в смысле главного значения.
Примеры нахождения преобразования Ф?/p>