Преобразование Фурье и его некоторые приложения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
обращения преобразования Фурье
.
Равенство примет вид:
.(714)
Применим к обеим частям равенства (10.14) оператор обращения преобразования Фурье (показать, что , также свертка (10.14) из )
Получим:
(7.15)
интеграл Пуассона для решения уравнения теплопроводности стержня.
Задача 2.2. Многие физические приборы - это операторы (преобразователи). На вход приборов подаются сигналы функции , , … - они входят в область определения оператора. На выходе получаем соответственно функции , , …. Например, усилители можно рассматривать как операторы, преобразующие напряжение переменного тока , подаваемого на вход, в напряжение переменного тока, получаемого на выходе. Преобразователь называется линейным, если он удовлетворяет следующим условиям:
если преобразуется в , то ( - любая действительная константа, ) преобразуется в ;
если преобразуется в , а - в , то преобразуется в .
Если для преобразователя выполняются указанные выше условия, то говорят, что для преобразователя выполняется принцип суперпозиции. Дополнительно предполагаем, что функция преобразуется в функцию , то есть, что установившееся гармоническое колебание с частотой преобразуется в установившееся гармоническое колебание с той же частотой . Причем, , где , - главное значение аргумента (). называется спектральной характеристикой преобразователя, которая означает, что гармонические колебания с различными частотами прибор преобразует по-разному. Гармоническое колебание преобразуется в гармоническое колебание
.(7.16)
Модуль спектральной характеристики , то есть называется частотной характеристикой преобразователя. Она показывает, во сколько раз изменяется амплитуда гармонического колебания с данной частотой . А называется фазовой характеристикой преобразователя. Она показывает изменение фазы. Имеем прямую задачу.
Дано: 1) физприбор - линейный преобразователь,
- его спектральная характеристика;
) - функция на выходе (абсолютно интегрируемая на числовой прямой и кусочно-гладкая на любом отрезке числовой прямой).
Найти: - преобразованную функцию на выходе.
Находим преобразование Фурье функции .
.(7.17)
По формуле обращения преобразования Фурье находим
.(7.18)
Интеграл правой части равенства (10.18) можно рассматривать как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний
.(7.19)
Преобразователем гармонические колебания (7.19) преобразуются в гармонические колебания
.(7.20)
Сумма колебаний (7.19) преобразуется в сумму колебаний (7.20). Тогда функция , определяемая соотношением (7.18), преобразуется в функцию , определяемую соотношением
.(7.21)
Задача решена.
Задача 2.3. (обратная для задачи 2.2)
Дано:1)физприбор - линейный преобразователь со спектральной характеристикой ;
) - преобразованная функция, получаемая на выходе.
Найти:функцию - подаваемую на вход физприбора.
Из формулы (7.21) имеем: образ Фурье функции есть
.(7.22)
Тогда
.(7.23)
Применим к (7.23) формулу обращения преобразования Фурье, получим:
.(7.24)
Задача решена.
Литература
1.Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье: учебно-методическое пособие / сост.: Н.П. Семенчук, Н.Н. Сендер; Брест. Гос. Ун-т имени А.С. Пушкина. - Брест: БрГУ, 2011. - 42 с.
2.Колмогоров А.Н., С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.
.Scientific American, Издание на русском языке, № 8 Август 1989 с. 48-56.