Преобразование Фурье и его некоторые приложения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
А тогда
.(6.3)
Формулу (11.3) будем понимать как бесконечную сумму бесконечно малых гармоник
.(6.4)
Комплексная амплитуда отдельного колебания бесконечно мала. Частотный интервал между двумя соседними колебаниями также бесконечно мал и равен , то есть частоты отдельных составляющих будут изменяться непрерывно (линии спектра будут плотно заполнять чертеж). Получим так называемый сплошной спектр . На некотором конечном промежутке есть огибающая дискретного ряда чисел , соответствующего периодическому повторению заданных функций. Функция называется спектральной плотностью функции .
Задача 1.1. Пусть периодическая функция
описывает короткий отрезок некоторого процесса (импульс). Найти спектральную плотность этого импульса. Построить эскиз графика спектральной плотности.
Находим преобразование Фурье функции
.
Тогда спектральная плотность будет
.
Рис. 1
Замечание 6.1. В приложениях есть задачи, в которых необходимо находить спектральную плотность для данной непериодической функции (смотри задачу 10.2). По спектральной плотности находят те промежутки изменения , которым соответствуют относительно большие по модулю значения , то есть полосы частот, которым соответствуют гармонические функции, играющие самую большую роль в представлении непериодической функции интегралом Фурье.
Спектральный метод, связанный с интегралом Фурье, применяется, например, при расчете нестационарных процессов в электрических цепях (стационарный процесс - это такое состояние электрической цепи, при котором величины этой цепи (ток, напряжение и т.д.) не зависят от времени или являются гармоническими функциями времени).
Пусть линейная электрическая цепь включается под напряжение . Тогда ток и напряжение могут быть представлены интегралом Фурье
,(6.5)
где соответственно есть или спектральная плотность тока , или спектральная плотность напряжения . Если спектральная плотность полного сопротивления есть , то для указанных спектральных плотностей будет справедлив закон Ома
.(6.6)
Пусть, например, надо найти ток нестационарного процесса. Поступаем при этом следующим образом:
Определяем спектральную плотность напряжения по заданному воздействию
.(6.7)
По схеме электрической цепи определяем плотность ее полного сопротивления (полное сопротивление цепи).
Спектральная плотность тока находится по формуле (6.6).
Ток нестационарного режима находим по формуле
.(3)
Конкретный пример. Дана электрическая цепь (смотри рисунок 1). Необходимо определить ток , если в момент времени рубильник подключает цепь к источнику постоянного напряжения ( - индуктивность, - сопротивление).
Рис. 2
Находим спектральную плотность напряжения ( при )
.
Определяем полные сопротивления
.
Находим спектральную плотность тока
.(6.9)
В правой части формулы (6.9) проведем следующие преобразования:
(6.10)
или (умножаем левую и правую части (6.10) на )
.(6.11)
Если , то . Далее умножим обе части (6.10) на , получим:
.(6.12)
Если для (6.12) положить , то . Тогда
.(6.13)
По формуле (6.8) находим ток нестационарного режима, получим:
. (6.14)
Замечание 6.2. Спектральную плотность функции можно находить по таблице интегральных преобразований Фурье или таблице интегральных преобразований Лапласа, при этом надо учесть, что параметр заменяется на . (Преобразование Лапласа для функции будет: ).
Некоторые приложения
Задача 2.1. Найти температуру бесконечного теплопроводящего стержня в любой момент времени , если в начальный момент его температура в любой точке есть .
Имеем задачу Коши
(7.1)
Дополнительно полагаем, что:
, , ;
Решение ищем в классе функций:
, , абсолютно интегрируемы на числовой прямой по при любых фиксированных ,
функция абсолютно непрерывна по на любом отрезке из при любых фиксированных ,
имеет в любом конечном отрезке , , интегрируемую мажоранту и .
Подействуем оператором Фурье на правую часть уравнения (7.1), используя формулу , то есть
(вместо берем ).
Получим:
.(7.3)
Интеграл
(7.4)
сходится равномерно относительно (учесть пункт 3) из условия б) и признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра). Тогда производная интеграла по параметру равна интегралу от производной, то есть
.(7.5)
Вывод. С помощью преобразования Фурье дифференциальное уравнение (7.1) в частных производных переведено в обыкновенное дифференциальное уравнение
.(7.6)
Для уравнения (7.6) имеем начальные условия:
при будет .(7.7)
Решаем полученную задачу Коши
(7.8)
Решаем уравнение (7.8)
, , , (7.10)
(тривиальное решение (7.8) есть ).
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (7.9) , то . Тогда
.(7.11)
Дальше найдем такую функцию , что
.(7.12)
Равенство (7.11) имеет вид
.(7.13)
Найдем функцию , преобразование Фурье которой есть .
Используем формулу