Преобразование Фурье и его некоторые приложения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?рье
Пример 1.
.
Тогда преобразование Фурье примет следующий вид:
Ответ:
Пример 2.
=
Ответ:
Пример 3.
Некоторые свойства преобразования Фурье
Теорема 1.1. (свойство линейности преобразования и обратного преобразования Фурье)
Если и ( и ) и взяты (, ), то для функции ().
Справедливость заключения теоремы следует из свойства линейности для несобственного интеграла и формул (2.2) (2.4).
Пусть - любая последовательность функций из пространства , то есть для любой функции существует .
Определение 4.1. Последовательность в метрике пространства , если , где называется расстояние между элементами и пространства .
Теорема 2.1. Если последовательность сходится к функции в метрике указанного пространства, то соответствующая последовательность () преобразований Фурье сходится к преобразованию Фурье равномерно.
Воспользуемся следующим критерием равномерной сходимости функциональной последовательности: последовательность () равномерно сходится к функции тогда и только тогда, когда (, ).
Оценим сверху и снизу .
интеграл фурье теорема спектр
.(4.1)
Для множества модулей число есть верхняя граница по , а тогда для наименьшей из верхних границ, то есть для имеет оценку
.(4.2)
Далее воспользуемся аналогом теоремы о пределе промежуточной функции.
Если и , то и . >
Теорема 2.2. (теорема Римана-Лебега) Если функция абсолютно интегрируема на числовой прямой, то ее преобразование Фурье есть непрерывная и ограниченная на числовой прямой функция, причем .
Вначале докажем ограниченность преобразования Фурье на числовой прямой.
,
где - норма функции в пространстве .
Дальше докажем остальные заключения теоремы. Доказательство разобьем на 3 этапа.
Пусть
В этом случае функция называется характеристической функцией интервала . Очевидно, что . Найдем преобразование Фурье функции.
Очевидно, что преобразование Фурье есть непрерывная функция на . Докажем, что непрерывность будет и в точке .
.
Утверждение доказано, то есть в рассматриваемом случае преобразование Фурье есть непрерывная функция на всей числовой прямой .
Покажем, что .
Вначале покажем, что функция является ограниченной даже на всей числовой прямой (нам же достаточно доказать ее ограниченность в некоторой окрестности точки )
.
А тогда (имеем произведение ограниченной функции на бесконечно малую при ). Утверждение доказано.
Пусть отрезок , , есть объединение конечного числа частичных отрезков без общих внутренних точек, то есть
и таких, что
(4.3)
Функция (4.3) в рассматриваемом случае называется ступенчатой функцией. Используя свойство линейности преобразования Фурье и доказанные утверждения в пункте 1), показывается, что преобразование Фурье функции (6.3) есть непрерывная функция на , имеющая пределы, равные нулю при .
Пусть - любая функция из класса , то есть любая суммируемая на числовой прямой функция. Можно доказать, что семейство ступенчатых функций плотно в пространстве , то есть существует последовательность ступенчатых функций, что
.(4.4)
А тогда последовательность преобразований Фурье сходится равномерно к преобразованию Фурье , причем члены последовательности непрерывны на .
Покажем, что .
Из равномерной сходимости последовательности к имеем, что:
.
Тогда
, .
По указанному .
Окончательно получим:
. >
Сверстка и преобразования Фурье
Определение 5.1. Сверткой функций и , абсолютно интегрируемых на числовой прямой , называется функция
.(5.1)
Теорема 5.1. Если , то:
свертка функций существует почти для любых и ;
для преобразования Фурье сверстки справедлива формула
.(5.2)
Вначале докажем, что .
.
.
Во внутреннем интеграле при любом фиксированном вводим подстановку
.
На основании следствия из теоремы Фубини ([1], стр.318) из существования повторного интеграла следует существование второго повторного интеграла и соответствующего им двойного интеграла, а также равенство этих интегралов.
А тогда получим
.(5.3)
Правая часть оценки (5.3) есть один из указанных выше повторных интегралов.
Из указанной оценки следует, что , что говорит о существовании почти для всех свертки функций.
Дальше докажем формулу (7.2).
Если , то существует преобразование Фурье свертки. Тогда
.
Изменение порядка интегрирования законно на основании указанного выше следствия из теоремы Фубини (учесть еще, что ).
Спектр
Спектральная теория является мощным и гибким орудием исследования законов природы.
Если функция является периодической с периодом , , а также кусочно-гладкой на любом отрезке числовой прямой, то формула тригонометрического ряда Фурье в комплексной форме будет:
,(6.1)
где коэффициенты Фурье
.(6.2)
Числа - это основная частота, а совокупность комплексных чисел называется спектром комплексных амплитуд функции .
Аналогично в непериодическом случае
(6.2)
( и - кусочно-гладкая на любом отрезке числовой прямой).