Переходные процессы в линейных электрических цепях
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
ня , а для другого корня взять сопряжённое этому слагаемому, то есть:
. (1.11)
Следует отметить что, при переходе от оригиналов к изображениям и обратно выполняется свойство линейности: линейной комбинации оригиналов (изображений) соответствует такая же линейная комбинация изображений (оригиналов).
Идея операционного исчисления основана на том, что при его помощи можно преобразовать интеграло-дифференциальные уравнения в алгебраические. Действительно:
; (1.12)
. (1.13)
При расчёте переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом можно преобразовать интеграло-дифференциальные уравнения, записанные с помощью I и II законов Кирхгофа, в алгебраические, и, решив эту систему, найти изображение искомой величины и получить окончательное решение, перейдя к оригиналу. Но для большей наглядности в операторном методе расчёта переходных процессов исходную схему цепи заменяют эквивалентной операторной. Рассмотрим, как преобразуются напряжения на пассивных элементах схемы замещения при переходе к изображениям токов.
Рассмотрим изображение напряжения на активном сопротивлении. Так как , если является изображением тока в ветви с сопротивлением, то по свойству линейности, получим:
; (1.14)
Из выражения (1.14) видим, что при преобразовании схемы на эквивалентный операторный, активные сопротивления в ней изменения не претерпевают.
Рассмотрим изображение напряжения на индуктивности. Так как, , если является изображением тока, протекающего через индуктивность, то согласно выражению (1.12) и свойству линейности изображение напряжения на индуктивности примет вид:
. (1.15)
Выражение (1.15) представляет собой одну из записей закона Ома в операторной форме. Символически величину принято называть операторным индуктивным сопротивлением, а величину - внутренним ЭДС индуктивного элемента.
Он возникает за счёт запасенной энергии магнитного поля внутри элемента, вследствие протекания тока через неё до коммутации. Как видно из выражения (1.15) внутренняя ЭДС индуктивного элемента направлена в ту же сторону, что и ток в ветви с индуктивностью. Отсюда в эквивалентной операторной схеме замещения индуктивный элемент можно заменить операторным индуктивным сопротивлением и направленным согласно с направлением тока источником ЭДС.
Напряжение на емкостном элементе можно выразить следующим образом:
;
Тогда, если является изображением тока, который течёт через емкостной элемент, то согласно выражению (1.13) и свойству линейности изображение напряжения на емкости примет вид:
. (1.16)
Выражение (1.16) также является одной из записей закона Ома в операторной форме. Символично величина называется операторным емкостным сопротивлением, а величина - внутренним ЭДС емкостного элемента. Внутренняя ЭДС обусловлена запасом энергии в электрическом поле емкостного элемента вследствие наличия напряжения на нём до коммутации. Как видно из выражения (1.16) внутренняя ЭДС емкостного элемента будет направлена встречно току, протекающему через неё. Тогда емкостной элемент в эквивалентной операторной схеме замещения заменяется операторным емкостным сопротивлением и источником ЭДС, направленной встречно току, протекающему через этот емкостной элемент.
Так как в эквивалентной операторной схеме замещения все токи и напряжения заменены их изображениями, то естественно ЭДС и токи соответствующих источников тоже следует заменить их изображениями.
Заменив исходную цепь эквивалентным операторным и рассчитав её одним из известных способов, получаем изображение искомого тока (напряжения) и находим сам закон его изменения от времени, перейдя к оригиналу рассмотренными выше способами.
Расчётная часть
Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Постановка задачи:
Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис 2.1). В цепи действует постоянная ЭДС В и подключены сопротивления Ом, Ом, Ом, Ом, индуктивность мГн и ёмкость мкФ.
Определить закон изменения тока на емкости после коммутации.
Рис.2.1
Дано:
Найти:
.
Решение:
1) Определим независимые начальные условия, рассмотрев схему замещения исходной цепи до момента коммутации:
Рис.2.2
До коммутации в данной электрической цепи имеются два разрыва: в виде коммутационного ключа и емкостного элемента, следовательно, тока в цепи не будет, в том числе и в ветви с индуктивностью. Записав II закон Кирхгофа для контура с источником ЭДС и ёмкостью, получим, что емкостной элемент зарядится до разности потенциалов, равной ЭДС источника. Имеем:
(2.1)
) Решение задачи классическим методом:
Рассмотрим цепь после коммутации и запишем систему уравнений с помощью I и II законов Кирхгофа:
Рис.2.3
(2.2)
Запишем искомую величину в виде:
.
Найдём принуждённую составляющую тока, рассчитав цепь в установившемся режиме постоянного тока после коммутации. Емкость в цепи постоянного тока равносилен разрыву, следовательно, тока на ёмкости в установившемся режиме не будет, то есть:
Чтобы найти свободную составляющую тока составим характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравнений (2.2) методом входного сопротивления. ;