Переходные процессы в линейных электрических цепях
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
мый переходный процесс;
) Если корни попарно сопряжённые комплексные числа:
, (1.4)
переходный линейная электрическая цепь
где и - постоянные интегрирования; - корни характеристического уравнения;
) Если все корни характеристического уравнения равные между собой действительные числа:
, (1.5)
где - постоянные интегрирования; - корни характеристического уравнения:
Если среди корней характеристического уравнения имеются корни различного типа, то искомое решение будет определяться как сумма решений для каждого типа по отдельности.
Если в системе дифференциальных уравнений, составленных с помощью I и II законов Кирхгофа, токи и напряжения и их производные связаны только линейно, то корни характеристического уравнения являются одинаковыми для всех токов и напряжений в схеме. Для определения корней характеристического уравнения необязательно составлять дифференциальное уравнение относительно искомой величины. Для вычисления разработано несколько методов.
Первый метод основан на том факте, что если система алгебраических уравнений имеет хоть одно ненулевое решение и только нулевые правые части, то главный определитель этой системы должен равняться нулю. Если в системе линейных дифференциальных уравнений, записанной с помощью I и II законов Кирхгофа, правые части всех уравнений заменить нулями, то получится переход к системе дифференциальных уравнений связывающие только свободные составляющие токов и напряжений. Тогда, если считать, что свободная составляющая хотя бы одного тока не равна нулю, то главный определитель этой системы должен равняться нулю. Записав все корни характеристического уравнения как одну переменную не зависящую то времени, выражение (1.3) можно переписать в виде:
.
Тогда:
(1.6)
(1.7)
Такие же выражения можно получить и для свободных составляющих (1.4) и (1.5).
Подставив выражения (1.5) и (1.6) вместо производных и интегралов в исходную систему, получаем систему алгебраических уравнений. Записав главный определитель системы и приравняв его к нулю, имеем уравнение, которое имеет такие же корни, что и характеристическое.
Метод главного определителя удобен, если в схеме имеются только два независимых контура. Если же число независимых контуров больше, этот метод становится громоздким. В этих случаях применяют метод входного сопротивления. С целью получения характеристического уравнения составляют выражение входного сопротивления пассивного двухполюсника на переменном токе [обозначим его ], заменяют в нём на р [получают ] и приравнивают нулю. Корни уравнения совпадают с корнями характеристического уравнения. Этот метод основан на том, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви.
Постоянные интегрирования определяются с помощью начальных условий, то есть значений токов и напряжений в схеме в момент . Начальные значения тока в ветви с индуктивность и напряжения на емкостном элементе называют независимыми начальными условиями. Согласно первому и второму законам коммутации они равны тем значениям, которые они имели непосредственно до коммутации. Начальные значения других токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Их значения могут быть не равны тем значениям, которые они имели непосредственно до коммутации. Зависимые начальные условия можно найти, записав законы Кирхгофа для момента и выразив их через независимые начальные условия.
3) Операторный метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях
Операторный метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях основан на том, что функции действительного переменного (например времени) , называемой оригиналом, соответствует другая функция комплексного переменного , называемая изображением.
Это соответствие производится по формуле:
(1.8)
и обозначается: .
Интеграл (1.8) называется интегралом Лапласа. В курсе математического анализа доказывается, что этот несобственный интеграл сходится только в том случае, когда модуль функции , если и увеличивается с ростом t, но всё же медленнее, чем модуль функции , равный , где - действительная часть комплексной переменной р. Все функции, характеризующие переходные процессы в линейных электрических цепях, удовлетворяют этому условию.
Переход от изображения к оригиналу может быть выполнен при помощи интеграла Бромвича:
, (1.9)
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1.8) относительно неизвестной функции и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (1.9) вычисляется по бесконечной прямой на комплексной плоскости , параллельной мнимой оси и расположенной правее всех полюсов функции . Интеграл (1.9) сложен для вычисления, поэтому для перехода от изображения к оригиналу пользуются таблицами оригиналов. Если полученное изображение является дробно-рациональной функцией, то можно также воспользоваться теоремой разложения, по которому:
, (1.10)
где - полюса функции ; - первая производная от по переменной p.
Если уравнение имеет комплексно сопряжённые корни, то нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей в правой части равенства (1.10) для каждого из сопряжённых корней в отдельности. Достаточно вычислить слагаемое суммы (1.10) только для одного комплексного кор