Переходные процессы в линейных электрических цепях
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
ток, протекающий через индуктивный элемент изменится скачком, то энергия магнитного поля на нём, которая прямо пропорциональна квадрату этого тока, тоже изменится скачком. Скачкообразное изменение напряжения на емкостном элементе, также приведёт к скачкообразному изменению энергии электрического поля внутри него, так как эта энергия прямо пропорциональна квадрату падению напряжения на этом элементе. Так как мощность равна первой производной от энергии по времени, изменение энергии на конечное значение за бесконечно малый промежуток времени потребует бесконечной большой мощности от источника. Это лишено физического смысла, потому что реальные источники питания не могут обеспечить бесконечно большие мощности.
Существует несколько методов расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях: классический, операторный, с помощью интеграла Дюамеля, переменных состояния и т.д. Рассмотрим два из них: классический и операторный.
2) Классический метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях
Классический метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях основан на интегрировании системы линейных дифференциальных уравнений, составленных с помощью I и II законов Кирхгофа. Действительно, составив с помощью I и II законов Кирхгофа систему алгебраических уравнений и выразив напряжения на индуктивностях и емкостях через токи или, наоборот, токи через напряжения, и продифференцировав уравнения, содержащие интегралы, получаем систему дифференциальных уравнений.
В классическом методе, пользуясь методом наложения (суперпозиции), который применим к линейным электрическим цепям, искомый переходный ток (переходное напряжение) рассматривают как величину, состоящую из принуждённой и свободной составляющих.
Принуждённая составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, которая создается только действующими в цепи источниками электрической энергии. Эта составляющая изменяется с той же частотой, что и принуждающий источник. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС или принуждающий синусоидальный ток, то принуждённая составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током или синусоидальным напряжением той же частоты. Если в схеме действует только источник постоянной ЭДС или источник постоянного тока, то принуждённый ток (принуждённое напряжение) есть постоянный ток (постоянное напряжение).
Свободная составляющая тока (напряжения) вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрических и магнитных полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия этих элементов не может изменяться скачком, и её непрерывное изменение и обуславливает переходный процесс. Эта составляющая тока (напряжения) быстро затухает из-за необратимых потерь энергии на резистивных элементах.
Так как свободный процесс - это процесс, который происходит в цепи, освобождённой от вынуждающих источников энергии, при рассмотрении свободных процессов, в системе дифференциальных уравнений, записанных с помощью I и II законов Кирхгофа, правые части можно заменить нулями. А это значит, что свободная составляющая тока или напряжения есть общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, описывающего искомый переходный процесс. Как известно из курса математического анализа, решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, является алгебраической суммой общего решения однородного линейного дифференциального уравнения и частного решения исходного неоднородного дифференциального уравнения. Так как полный переходный ток (полное переходное напряжение) есть алгебраическая сумма принуждённого и свободного составляющих, принуждённая составляющая тока (напряжения) есть частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс.
Отсюда получаем что, частное решение этого дифференциального уравнения можно найти, вычислив принуждённую составляющую искомого тока или напряжения. Для нахождения этой составляющей рассчитывают исходную цепь в установившемся режиме после коммутации любыми известными методами: методом непосредственного применения I и II законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, символическим методом и т.д. Если в цепи действуют только источники постоянной ЭДС (постоянного тока), то следует учитывать, что постоянный ток через конденсатор не проходит. Также, при постоянном токе, протекающем через индуктивный элемент, падение напряжения на нём равно нулю. Следовательно, при расчёте принуждённых токов или напряжений, при постоянных принуждающих ЭДС и токов, в схемах замещения ёмкость можно заменить разрывом, а индуктивность простым проводом.
Свободная составляющая, которая является общим решением однородного дифференциального уравнения, которое, согласно курсу математического анализа, в зависимости от корней характеристического уравнения, записывается в виде:
) Если все корни характеристического уравнения неравные между собой действительные числа:
, (1.3)
где - постоянные интегрирования; - корни характеристического уравнения для линейного дифференциального уравнения, описывающего иско