Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Міністерство освіти і науки України
Кафедра вищої математики
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни
„Вища математика”
за темою:
Перетворення Фурє. Спектри неперіодичних функцій.
Виконав студент групи
Викладач
Дніпропетровськ 2010
Атестаційний аркуш
захисту курсової роботи
студента_____________________________________________________
_____________________________________________________________
Якість оформлення курсової роботи
Якість виступу на захисті курсової роботи
Рівень знань базового предмету
Додаткові питання при захисті курсової роботи:
______________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Оцінка відповідей на додаткові питання
КІНЦЕВА ОЦІНКА
Дата захисту __________ 2010 р.
Підпис викладача _________________
Підписи комісії ____________________
Зміст
Вступ
1. Постановка задачі
2. Перетворення Фурє
2.1 Зображення функції інтегралом Фурє
2.2 Комплексна форма інтеграла Фурє
2.3 Інтегральне перетворення Фурє
3. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції
4. Розрахункова частина
Висновки
Список використаної літератури
Вступ
Розкладання періодичної функції в ряд Фурє з погляду фізики відповідає на запитання про розподіл енергії процесу по гармоніках, дискретно, тобто стрибком, що міняє частоту. Такі явища, як світлові промені або шуми при радіозвязку містять у своєму складі гармоніки всіх частот та у дану схему не укладаються. Безперервна зміна частоти приводить до поняття інтеграла Фурє, у якому розподіл енергії по частотах характеризується спектральною щільністю. Кожній окремій узятій частоті відповідає нульова енергія, однак вона здобуває вагу, якщо розглядається деякий інтервал частот. Подібно повній масі, що у випадку безперервного розподілу виражається інтегралом від щільності, до інтеграла зводиться й повна енергія процесу, неперервно розподілена по частотах. Цей підхід став надбанням фізиків і інженерів, чиї професійні інтереси повязані з теорією передачі сигналів (радіофізика, оптика, акустика, кібернетика, електричні лінії тощо). Разом з тим, незалежно від фізичного змісту гармонійний аналіз має іншу важливу складову, він - ефективний засіб рішення широкого класу задач із різних галузей науки.
Перетворення Фурє - це самостійна операція математичного аналізу, досліджувана в курсовій роботі саме в цій якості.
1. Постановка задачі
Для неперіодичної функції , знайти розклад інтеграла Фурє амплітудний і фазовий спектри.
Ця задача має відношення до розділу математики, який називають гармонійний аналіз (або Фурє аналіз).
Спектральный аналіз (Spectral analysis, Синоніми: ФурєАналіз, Гармонійний аналіз, Frequency analysis) - це різновид обробки даних, повязаний з перетворенням їхнього частотного подання або спектра. Спектр виходить у результаті розкладання вихідної функції, що залежить від часу (часовий ряд) або просторових координат (наприклад, зображення), у базис деякої періодичної функції. Найбільш часто для спектральної обробки використовується спектр Фурє, одержуваний на основі базису синуса (розкладання Фурє, перетворення Фурє) [7].
Основний зміст перетворення Фурє в тім, що вихідна неперіодична функція довільної форми, яку неможливо описати аналітично й у загальному випадку важка для обробки й аналізу, представляється у вигляді сукупності синусів або косинусів з різною частотою й амплітудою. Іншими словами, складна функція перетвориться в множину більш простих. Кожна синусоїда (або косинусоїда) з певною частотою й амплітудою, отримана в результаті розкладання Фурє, називається спектральною складовою або гармонікою. Спектральні складові створюють спектр Фурє [5].
Візуально спектр Фурє представляється у вигляді графіка, на якому по горизонтальній осі відкладається кругова частота, позначувана грецькою буквою "омега", а по вертикалі - амплітуда спектральних складових, звичайно позначувана латинською буквою A. Тоді кожна спектральна складова може бути представлена у вигляді відліку, положення якого по горизонталі відповідає її частоті, а висота - її амплітуді. Гармоніка з нульовою частотою називається постійною складовою (у тимчасовому поданні це пряма лінія).
Рис.1.1 Основні показники спектру функції [7]
Навіть простий візуальний аналіз спектра може багато сказати про характер функції, на основі якої він був отриманий. Інтуїтивно зрозуміло, що швидкі зміни вихідних даних породжують у спектрі складові з високою частотою, а повільні - з низкою. Тому якщо в ньому амплітуда складових швидко убуває зі збільшенням частоти, то вихідна функція (наприклад, часовий ряд) є плавною. І, навпаки, якщо в спектрі присутні високочастотні складові з великою амплітудою, то вихідна функція буде містити різкі коливання. Так, для часового ряду це може вказувати на більшу випадкову складову, нестійкість описуваних їм процесів, наявність шумів у даних.
В основі спектр