Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
>
2.2 Комплексна форма інтеграла Фурє
Перетворимо за допомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду
(2.11)
де позначено
Тоді
(2.12)
Для дістаємо вираз
(2.13)
Звідси
(2.14)
Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при , бо . Тому із формули (2.7) випливає
(2.15)
Отже, в точках неперервності функції
(2.16) де
(2.17)
Вираз для у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фурє для функції .
Зауваження. Множник можна записати у будь - яку з формул (2.16) чи (2.17): у вираз для , як у формулі (2.17), або у формулі (2.16), як це у подальшому буде зроблено для формул перетворення Фур є відповідно до стандартів електротехніки.
Приклад. Побудувати розклад (2.17) для функції
,
Розвязок
Тут . Проінтегруємо по проміжку , відповідно (2.2) при отримаємо
Оскільки
, тоді
.
Розклад (2.18), де запишеться як:
2.3 Інтегральне перетворення Фурє
При дотриманні певних умов у ряд Фурє розкладається періодична функція, задана на всій дійсній осі, або функція, визначена на кінцевому інтервалі. Розкладання в ряд Фурє неперіодичної функції, заданої на необмеженому інтервалі, нездійсненно. Однак ідея подання функції нескінченним набором гармонік у декілька зміненій формі реалізована і в цьому випадку. Засобом досягнення мети служить інтеграл Фурє [3], [4], [5].
Припустимо, що комплексна формула інтеграла Фурє має місце для всіх значень за винятком скінченої кількості точок.
Тоді
(2.18)
Вираз у дужках - функція від . Позначимо цю функцію :
(2.19) тоді
(2.20)
Вирази (2.19) та (2.20) називаються двобічним прямим та оберненим перетворенням Фурє. Якщо функція при , то дістанемо однобічні перетворення Фурє.
(2.21)
(2.22)
Аналогічно, звернувшись до формул (2.9) і (2.10), можна ввести пряме і обернене косинус-перетворення Фурє для парної функції .
(2.23)
(2.24)
та пряме і обернене синус-перетворення Фурє для непарної функції :
(2.25)
(2.26)
Приклад. Знайти прямі косинус - перетворення Фурє та синус-перетворення функції .
,
За формулами обернених перетворень (2.24) і (2.25) маємо
3. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції
У відповідності з формулою (2.22), неперіодична функція зображується сукупністю нескінченно великої кількості гармонік з нескінченно малими амплітудами у всьому діапазоні частот до . Функцію , визначену для неперіодичної функції за формулою (2.19) чи (2.22), називають спектральною характеристикою (спектральною щільністю, спектральною функцією) функції . ЇЇ модуль і аргумент називають відповідно амплітудною та фазовою спектральними характеристиками (відповідно амплітудно-частотним та фазочастотним спектрами).
Деякі властивості спектральної характеристики. Нехай - спектральна характеристика (це символічно можна записати . Тоді спектральній характеристиці (у випадку двобічного перетворення Фурє) притаманні такі властивості [3]:
Лінійність де ;
Диференціювання оригіналу , якщо абсолютно інтегрована функція. Інтегрування оригіналу за умови, що . Диференціювання спектральної функції у випадку, коли - абсолютно інтегрована функція
Зміна масштабу незалежної змінної .
Зсув незалежної змінної .
Зсув спектральної функції
Множення функції на косинус та синус
Функція - комплексно - спряжена для функції , і, оскільки модулі спряжених функцій і рівні, а аргументи - відрізняються знаком, то амплітудно-частотний спектр - завжди парна, а фазо-частотний спектр - завжди непарна функція частоти .
Інколи спектральну характеристику описують кривими, що являють собою дійсну та уявну частину спектральної функції.
(3.1)
(3.2)
Ці дві криві містять повну інформацію про амплітуду і фазу спектральної характеристики причому - непарна функція, - парна функція, а відтак, якщо функція - парна, то спектр зводиться тільки до дійсної частини , що збігається з . Аналогічно у разі непарної функції спектр зводиться до уявної частини .
Зауваження 1. Спектральну характеристику можна вважати обвідною коефіцієнтів ряду Фурє, тобто границею лінійчатого спектра частот періодичної функції, коли період функції прагне до нескінченності.
4. Розрахункова частина
У розрахунковій частині даної роботи досліджується неперіодична функція
,
Потрібно знайти:
розклад в інтеграл Фурє
амплітудний і фазовий спектр.
Розвязання
а) Функція задовольняє таким умовам теореми Фурє [4], [5]:
Рис.4.1 Графік досліджуємої неперіодичної функції f (t)
(прямокутний імпульс тривалості ) задана на всій осі . на будь-якому кінцевому відрізку цієї осі задовольняє умовам Дирихле [], а отже розкладається в ряд Фурє.
Абсолютно інтегрувальна по всій осі, тобто те функція допускає подання у формі інтеграла Фурє
(4.1), де
(4.2)
Застосувавши (4.2), знайдемо спектральну щільність
. (4.3)
Згідно (4.1), підставляючи (4.3), отри