Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
альної обробки лежить маніпулювання спектром. Дійсно, якщо зменшити (придушити) амплітуду високочастотних складових, а потім на основі зміненого спектра відновити вихідну функцію, виконавши зворотне перетворення Фурє, то вона стане більш гладкою за рахунок видалення високочастотного компонента. Для часового ряду, наприклад, це означає забрати ін. - формацію про щоденні продажі, які сильно піддані випадковим факторам, і залишити більше стійкі тенденції, наприклад, сезонність. Можна, навпаки, придушити складові з низькою частотою, що дозволить забрати повільні зміни, а залишити тільки швидкі. У випадку часового ряду це буде означати придушення сезонного компонента.
Застосовуючи спектр таким чином, можна домагатися бажаної зміни вихідних даних. Найбільше часто використовується згладжування часових рядів шляхом видалення або зменшення амплітуди високочастотних складових у спектрі [7].
Для маніпуляцій зі спектрами використовуються фільтри - алгоритми, здатні управляти формою спектра, придушувати або підсилювати його складові. Головною властивістю будь-якого фільтра є його амплітудно-частотна характеристика (АЧХ), від форми якої залежить перетворення спектра. Якщо фільтр придушує тільки складові з низькою частотою, то він називається фільтр нижніх частот (ФНЧ), і з його допомогою можна згладжувати дані, очищати їх від шуму й аномальних значень, а якщо тільки складові з високою частотою, то це фільтр високих частот (ФВЧ). Завдяки йому можна придушувати повільні зміни, наприклад, сезонність у рядах даних. Крім цього, використовується множина інших типів фільтрів: фільтри середніх частот, загороджувальні фільтри й смугові фільтри, а також більш складні, які застосовуються при обробці сигналів у радіоелектроніці. Підбираючи тип і форму частотної характеристики фільтра, можна домогтися бажаного перетворення вихідних даних шляхом спектральної обробки.
Виконуючи частотну фільтрацію даних з метою згладжування й очищення від шуму, необхідно правильно вказати смугу пропущення ФНЧ. Якщо її вибрати занадто великою, то ступінь згладжування буде недостатнім, а шум буде подавлений не повністю. Якщо вона буде занадто вузькою, то разом із шумом можуть виявитися подавленими й зміни, що несуть корисну інформацію.
Спектральний аналіз є одним з найбільш ефективних і добре розроблених методів обробки даних. Частотна фільтрація - тільки один з його численних додатків. Крім цього, він використовується в кореляційному й статистичному аналізі, синтезі сигналів і функцій, побудові моделей і т.д.
2. Перетворення Фурє
2.1 Зображення функції інтегралом Фурє
Наведемо лише суттєвими рисами ті міркування, що приводять до інтегральної формули Фур є [3].
Нехай функція визначена на всій числовій прямій та задовольняє таким умовам:
Функція є обмеженою та абсолютно інтегрованою на , тобто існує невластний інтеграл
2. У будь-якому скінченому проміжку функція розкладається у ряд Фур є
(2.1)
де коефіцієнти Фурє визначаються формулами
(2.2)
Підставивши замість коефіцієнтів і їх вирази, перепишемо ряд у вигляді
або
(2.3)
Дістанемо граничну форму цього розвинення при . Оскільки функція абсолютна інтегрована на всій числовій осі, то при граничному переході при перший доданок у правій частині (2.3) прямує до нуля
(2.4)
Позначимо та перепишемо (2.4) як
(2.5)
При інтеграл можна замінити інтегралом
, а суму
можна вважати за інтегральну суму для інтеграла
Таким чином, з рівності (2.5) дістаємо
(2.6)
Рівність (2.6) називається інтегральною формулою Фурє, а інтеграл у її правій частині - інтегралом Фурє. Зображення функції у вигляді інтеграла Фурє звичайно називають розкладанням цієї функції в інтеграл Фурє.
Зауваження 1. Формула (2.6) має сенс тільки для точок неперервності функції , а у кожній точці розриву першого роду, як і для рядів Фур є, інтеграл Фурє збігається до числа
.
Формулу (2.6) приводимо до вигляду, що є збіжним з рядом Фур є:
(2.7) де
(2.8)
Рівність (2.7) аналогічна розвиненню функції в тригонометричний ряд Фурє, а вираз (2.8) - формулам для коефіцієнтів Фур є. І, таким чином, (2.7) можна трактувати як розкладання неперіодичної функції, визначеної на всій числовій осі на суму гармонічних складових частоти , які неперервно заповнюють дійсну піввісь
Зауваження 2. Якщо функція - парна, то та інтеграл Фурє для такої функції має вигляд
(2.9)
У випадку непарної функції
інтеграл Фурє набуває вигляду
(2.10)
Приклад 1. Зобразити інтегралом Фурє неперіодичну функцію
Дана функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фурє. За формулами (2.8) і (2.7)
у точках розриву і інтеграл збігається до числа
Приклад 2. Зобразити інтегралом Фурє неперіодичну функцію
Функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур є, до того ж вона парна, а відтак
Якщо , то
і
Функція у точці має усувний розрив (що не впливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції інтегралом Фурє можна записати у вигляді
.