Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
муємо інтеграл Фурє в комплексній формі:
(4.4)
З формули (4.4) після відділення дійсної й мнимої частини можна перейти до інтеграла Фурє в дійсній формі. З обліком парних і непарних функцій одержимо
, тобто
(4.5)
б) Минаючи стандартну процедуру, визначимо модуль і аргумент величини привівши її до показової форми запису
(4.6)
Поки співмножник експоненти (разом із синусом) міняє знак, він не може відігравати роль модуля . Неважко перевірити, що в проміжках
при
.
Тому для , значить ;
звідки
. (4.7)
В виразі (4.7) ціле число довільне, його варто вибрати так, щоб виділялося головне значення. Оскільки в означених вище інтервалах зміни справедливо , то досить взяти .
Маємо:
1. амплітудний спектр у вигляді функції
,
Побудуємо таблицю амплітудного спектра
k-4-202400000
Графік амплітудного спектра наведений на рис.4.2
Рис.4.2 Графік амплітудного спектру досліджуємої неперіодичної функції
2. фазовий спектр у вигляді функції
, . Діаграми для
побудовані з урахуванням парності й непарності .
Побудуємо таблицю для фазового спектра
k-2-101200
Графік фазового спектра наведений на рис.4.3
Рис.4.3 Графік фазового спектру досліджуємої неперіодичної функції
Розглянуту функцію в радіотехніці застосовують для опису прямокутного імпульсу тривалості . Прилад, що реєструє цей сигнал, сприймає тільки кінцевий інтервал частот. Важливо, щоб в останній попадала основна частина спектра, який відповідає найбільшим значенням амплітуд. Довжину такого інтервалу характеризують за допомогою поняття ширини спектра. У даному прикладі шириною спектра називають величину . Тривалість імпульсу й ширина його спектра обернено залежні. Ця властивість - загальна для імпульсів різної форми.
Висновки
В курсовій роботі розглянута теорія та практика спектрального аналізу функцій при спектральному представленні неперіодичних функцій з застосуванням математичного апарату інтегральних перетворень Фурє.
Від періодичного коливання до неперіодичного можна просто перейти, якщо не змінюючи форми імпульсу безмежно збільшувати період його проходження, що, у свою чергу, приведе до нескінченно близького розташування друг до друга спектральних складових, а значення їхніх амплітуд стають нескінченно малими. Однак початкові фази цих складових такі, що сума нескінченно великої кількості гармонійних коливань нескінченно малих амплітуд відрізняється від нуля й дорівнює функції тільки там, де існує імпульс. Тому поняття спектра амплітуд для неперіодичного коливання не має змісту, і його заміняють, використовуючи пряме й зворотне перетворення Фурє. Відомо, що функція, що задовольняє заданим умовам, може бути представлена інтегралом Фурє (зворотне перетворення Фурє)
.
Використовуючи пряме перетворення Фурє, приходимо до інтеграла
.
Функція називається комплексною спектральною щільністю амплітуд, а її модуль - спектральною щільністю амплітуд. Аргумент називають фазовим спектром неперіодичного коливання.
Список використаної літератури
- Ильн В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1М.: "Наука" - 387с-1980. ч.2М. Наука. - 444с-1982.
- Овчинников П.П. Вища математика: підручник. Ч.2-3є вид. - К.: Техніка, 2001. - 792 с.
- 3. Поляков М.Г., Фомичова Л.Я., Сушко С.О., Математичні основи теоретичної електротехніки: Навчальний посібник - Дн.: НГА України, 2001. - ч.1-210с.
- 4. Синайский, Е.С. Высшая математика: учеб. пособие. - 2е изд. - / Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И.; Министерство образования и науки Украины, Национальный горный университет. - Днепропетровск: НГУ. - Ч.1. - 2009. - 399 с.
- Синайский Е.С. Высшая математика / Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л. И.; Министерство образования и науки Украины, Национальный горный университет. - Днепропетровск: НГУ. - Ч.2. - 2006. - 452 с.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: „Наука”, 1970. - Т.2. - 800 с.
- Харкевич А.А. Спектры и анализ - М.: Физматгиз, 1980. - 246 с.