Основы теории электрических цепей
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
nbsp;
Подставим численные значения сопротивлений:
. Выразим :
UL=
После подстановки в данное выражение и упрощения, получаем:
Подставим численные значения сопротивлений:
Таким образом, получим 2 уравнения:
Откуда получаем уравнения состояния:
Запишем полученные уравнения в матричной форме вида:
Где
(Заметим, что число элементов данной матрицы равно числу реактивных элементов в исследуемой электрической цепи),
матрица соединений, которая содержит элементы, связывающие iL, UC,
,
,
(из условия)
- матрица, учитывающая внешние источники.
Таким образом, получаем:
Записываем решение для переменных состояния через экспоненциальную матричную функцию:
Так как, в нашем случае, матрица F = const, то вид уравнения упрощается:
Найдем собственные значения матрицы A:
Откуда
Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тейлора:
Число элементов разложения равно числу переменных состояния (=2).
Находим через найденные выше собственные значения:
Откуда
С учетом , получим:
;
Получаем функции состояния:
В результате перемножения матриц и упрощения полученных зависимостей получим:
1.3 Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов
Вид решаемых уравнений:
Для решения этих дифференциальных уравнений воспользуемся методом Эйлера с числом шагов 15. Алгоритм расчета по этому методу для данного случая выглядит следующим образом:
;
Первые значения можем рассчитать, используя независимы начальные условия:
Таким образом, найдем численное решение:
1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния
Рис. 1.1 Графики зависимости тока на катушке от времени.
Рис. 1.2 Графики зависимости напряжения на конденсаторе от времени.
2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
Требуется:
.1 Определить функцию передачи:
Символом p обозначен оператор Лапласа.
.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.
.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.
.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.
.5 Найти напряжение на выходе цепи, используя HU(p).
.6 Построить на графике переходную и импульсную характеристики цепи, входной и выходной сигналы.
источник тока отсутствует; входное напряжение имеет зависимость следующего вида:
Исследуемая схема имеет вид:
2.1 Определить функцию передачи
В соответствии с законами Кирхгофа, составим уравнения для данной схемы:
Запишем систему в операторном виде, произведя следующие замены:
Определим функцию передачи.
Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины ко входной. В зависимости от того какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: HU (p) = UН (p)/Uвх(p), где UН (p) и Uвх(p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.
, где
Из составленной выше системы найдем ток :
Тогда:
2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты
Нули:
Полюса:
нули функции передачиполюса функции передачи
Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p1,2 совпадают с собственными значениями, 2матрицы A. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи. Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжен?/p>