Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |   ...   | 76 |

Решение Рассчитаем сначала современную величину имеющегося аннун итета (которая и представляет собой величину долга на начальн ный период).

По формуле (7.5) получаем А = 5 000 [1 - (1 + 0,04)-10]/0,04 = 40554,5 (ам. долл.).

Далее для изменившегося P найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

ain = AfP = 40554,5 ам. долл./ 7500 ам. долл. = 5,4.

x Используя таблицу 4 Приложения 2 найдем значение W1, более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке 4%, округляя его в меньшую сторону: W1 = 6. Поскольку значение W1 найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

A = 7 500 [1 - (1 + 6,04)"6]/0,04 = 39 316 (ам. долл.).

x Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма AQ = 40 554,5 Ч 39 316 = 1238,5 (ам. долл.) должна быть вын плачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации корн ректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке г может быть отсрочено:

с а) при сохранении размера платежа;

б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок анн нуитета, а во втором Ч величина платежа.

Обозначим через W0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга A, которая должна являться современной x величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного прон цента:

Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение п продолжительности нового аннуитета при заданном значении P1 = Р(п{ будет найдено прин ближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей сумн мы, см. пример 28). Во втором Ч величину платежа P1 при Ai1 = = п - Ai.

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение нен скольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Пример Два аннуитета с параметрами:

1) величина платежа Ч- 2 000 ам. долл., процентная ставка Ч 5% годовых, срок Ч 12 лет;

2) величина платежа Ч 3 500 ам. долл., процентная ставка Ч 6% годовых, срок Ч 10 лет;

требуется заменить одним Ч со сроком 10 лет и процентной ставн кой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Решение Найдем сначала общую современную величину двух аннуитен тов. По формуле (7.5) имеем Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прилон жение теории аннуитетов Ч составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана пон гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика Ч выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга Ч при различных условиях погашения (тан кие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности Ч пять:

1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы P при заданной прон центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Разн мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем 2. Погашение долга в один срок Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационн ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сумн мы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под кон торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сумн мами с кредитором.

Введем обозначения:

Ч основная сумма долга (без процентов);

Ч ставка процента по займу;

Ч процент по займу;

Ч размер взноса в погасительный фонд;

Ч ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

Ч величина срочной уплаты;

Ч срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (Y = = /+/).

По определению / = D i.

c Сумма, накопленная в погасительном фонде за п лет, т. е. наран щенная сумма аннуитета с параметрами % п, g, должна составить величину R По формуле (7.2) получаем Отсюда Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяетн ся формулой:

(7.23) Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основн ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину откуда получаем 3. Погашение долга равными суммами Пусть долг погашается в течение п лет равными суммами, а прон центы периодически выплачиваются. Тогда на погашение постон янно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегодн но сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга.

Обозначим Ч сумма долга после к-го года:

Ч процентная выплата за к-й год.

Тогда На конец второго года получаем Для определения размера срочной уплаты и процентного план тежа после к-го года получаем На конец срока, т. е. л-го года имеем Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расценин ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат Пусть займ величиной Д выданный под сложную годовую прон центную ставку погашается в течение п лет равными срочными уплатами Y= I + P. Понятно, что со временем составляющая / (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно, составляющая P (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сумн мы на погашение долга на конец к-то года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке i в течение п лет является аннуитетом с соотн c ветствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

Ч коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Р сумму, идущую на погашение займа в конн к це к-го года, запишем следующие соотношения:

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

откуда получаем Так как Следовательно, Отсюда Далее получаем Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача опн ределения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией аннуитен тов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в рен зультате округления полученного л) в начале периода погашения.

Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Пример Займ в размере 12 000 ам. долл. выдан под сложную процентн ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Решение Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета я4 п :

12 000 ам. долл./1 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как п = соответствует коэффициент а4 10 = 8,11, возьмем п = 9 и рассчин таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам.

долл. новое значение платежа P. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице Приложения 2.

12 000 ам. долл./7,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, осн таток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые знан чения:

Сумма долга на Срочная Проценты Выплата на Год конец года уплата (Y) погашение (P) \ (I) 1 10 866,0 1613,99 480,0 1133,2 9 686,67 1613,99 434,64 1179,3 8 460,2 1613,99 387,47 1226,4 7 184,6 1613,99 338,4 1275,5 5 858,0 1613,99 287,4 1326,6 4 478,32 1613,99 234,32 1379,7 3 043,5 1613,99 179,13 1434,8 1 551,23 1613,99 121,73 1492,0 1613,99 62,04 1551,1 Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округн ления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные упн латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономернон стью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной разн ницей А. При сроке погашения п и процентной ставке i, испольн c зуя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты P:

исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задаютн ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. прин мер 31).

Пример Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года Ч 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годон вых.

Решение, Разработаем план погашения долга.

Сумма долга на Срочная Проценты Выплата на | Год конец года уплата (Y) погашение (P) (D 1 8 500,0 2 000,0 500,0 1 500,2 6 925,0 2 000,0 425,0 1 575,3 3 271,25 4 000,0 346,25 3 653,4 1 934,81 1 500,0 163,56 1 336,0 2 031,55 96,74 1 934,81 1 Проценты за первый год составляют Отсюда ш Для последующих лет получаем Итак, величина последней уплаты должна составить 2 031,ам. долл.

2.8. Дивиденды и проценты по ценным бумагам.

Доходность операций с ценными бумагами Вложения денежного капитала в различного вида ценные бун маги (долевое участие в предприятиях, займы другим предприн ятиям под векселя или иные долговые обязательства) Ч важнейн ший элемент развивающейся рыночной экономики. Цель финанн совых вложений Ч получение дохода и/или сохранение капитала от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходин мо уметь правильно оценивать реальный доход по разного вида ценным бумагам. Рассмотрим сначала виды существующих в нан стоящее время ценных бумаг и определим разницу в начислении процентов и возможностях получения дохода по ним.

В зависимости от формы предоставления капитала и способа выплаты дохода ценные бумаги делятся на долговые и долевые.

Долговые ценные бумаги (купонные облигации, сертификаты, векселя) обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выплатить полную сумму долга с прон центами на определенную дату в будущем; по дисконтным облин гациям доход представляет собой скидку с номинала.

Долевые ценные бумаги (акции) представляют собой непосредн ственную долю держателя в реальной собственности и обеспечин вают получение дивиденда в неограниченное время.

Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых либо долевых ценных бумаг и закрепляют право влан дельца на покупку или продажу акций и долговых обязательств.

Это опционы, фьючерсные контракты и др.

Расчет дохода по различным видам ценных бумаг производится на основе полученных в предыдущих параграфах формул. Привен дем несколько примеров.

Пример Депозитный сертификат номиналом 200 000 руб. выдан 14 мая с погашением 8 декабря под 18% годовых. Определить сумму дон хода при начислении точных и обыкновенных процентов и сумму погашения долгового обязательства.

Решение Находим сначала точное (17 дней мая + 30 дней июня + день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 31 день октябн ря ++ 30 дней ноября + 8 дней декабря = 208 дней) и приблин женное (17 дней мая + 30-6 + 8 дней декабря = 205 дней) число дней займа.

Для точных процентов из формул (1.2) и (1.3) получаем /=0,18-200 000 Х 208/365=20 515 (руб.).

По формуле (1.4) вычисляем сумму погашения обязательства:

S = 200 000 + 20 515 = 220 515 (руб.).

Для случая обыкновенных процентов возможно несколько способов расчета:

a)d=208, K = 360. Тогда / = 0,18 Х 200 000 Х 208/360 = 20 800 (руб.);

S = 200 000 + 20 800 = 220 800 (руб.).

б) а = 205, K = 365. Тогда / = 0,18 200 000 - 205/365 = 20 219 (руб.);

S = 200 000 + 20 219 = 220 219 (руб.).

в) а = 205, K= 360. Тогда /= 0,18 200 000 Х 205/360 = 20 500 (руб.);

S = 200 000 + 20 500 = 220 500 (руб.).

Пример Платежное обязательство выдано н^ три месяца под 25% годон вых с погашением по 20 000 000 руб. (год високосный). Опреден лить доход владельца данного платежного обязательства.

Решение Сначала по формуле дисконтирования (1.9) определим текун щую стоимость платежного обязательства:

P = 20 000 000 /(I + 0,25 /4) = 18 823 529 (руб.).

Доход владельца определяется из формулы (1.4):

/ = 20 000 000 - 18 823 529 = 1 176 471 (руб.).

Пример Сертификат номинальной стоимостью 28 000 000 руб. выдан на 200 дней (год високосный) с погашением по 30 000 000 руб. Опрен делить доходность сертификата в виде простой ставки ссудного процента.

Решение Для определения процентной ставки используем формулу (1.13):

I =[(30 000 000 - 28 000 000)/28 000 000] 366/200 = 0,13 = 13%.

При покупке (учете) векселей и других денежных обязательств до наступления срока платежа используются учетные ставки. Тон гда доход, начисленный по учетной ставке (дисконт), становится доходом лица, купившего вексель, когда наступает срок оплаты.

Владелец векселя получает указанную в нем сумму за вычетом дисконта, но зато раньше срока.

Пример Вексель выдан на сумму 10 000 000 руб. со сроком оплаты 21 июля. Владелец векселя учел его в банке 5 июля по учетной ставке 20%. Определить доход банка и сумму, полученную по векн селю (K= 365).

Решение Срок от даты учета до даты погашения составляет 21 Ч 5 = дней.

По формуле (2.3) получаем D = 0,2 Х 10 000 000 Х 16/365 = 87 671 (руб.).

Соответственно, по формуле (2.4), сумма, полученная по векн селю:

P = 10 000 000 - 87 671 = 9 912 329 (руб.).

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |   ...   | 76 |    Книги по разным темам