Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 76 |

Наращение (рост) первоначальной суммы долга Ч это увеличен ние суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения Ч это величина, покан зывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления Ч это промежуток времени, за который нан числяются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на котон рый предоставляются деньги. Период начисления может разбин ваться на интервалы начисления.

Интервал начисления Ч это минимальный период, по прошестн вии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа опн ределения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начислян ются в конце каждого интервала начисления. Их величина опрен деляется исходя из величины предоставляемого капитала. Соотн ветственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудн ный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумн ме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления проценн тов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисн ления. Сумма процентных денег определяется исходя из наран щенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в прон центах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошестн вии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления прон центов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления проценн тов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставн ки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого инн тервала начисления они применяются к сумме долга и начисленн ных за предыдущие интервалы процентов).

российской практике понятия ссудного процента и учетной ставки обычно не различаются и обозначан ются собирательным термином процентная ставка (терн мин лучетная ставка можно также встретить применительн но к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).

В связи с этим необходимо подчеркнуть, что по мере развития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает все большую актуальность.

Финансисту Ч инвестору ли (вкладчику), заемщику ли средств Ч в любом случае необходимо иметь представление о способе нан числения процентов, подразумеваемом в каждой конкретной сделке, тем более, что при укрупнении масштабов операции кажн дый процентный пункт становится все тяжелее и тяжелее.

В последующих разделах будут приведены вычисления и даны примеры и графики, наглядно демонстрирующие, сколь ощутин мыми могут быть различия в результатах при разных способах нан числения процентов. Непонимание различия между видами процентных ставок может при этом вылиться не только в упущенную выгоду, но и в значительные убытки.

2.1. Простые ставки ссудных процентов Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применян ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда инн тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составлян ет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждон го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Естественно, простые ставки ссудных процентов могут примен няться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:

/(%) Ч простая годовая ставка ссудного процента;

i Ч относительная величина годовой ставки процентов;

1 Ч сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

г / Ч общая сумма процентных денег за весь период нан числения;

P Ч величина первоначальной денежной суммы;

S Ч наращенная сумма;

к Ч коэффициент наращения;

н п Ч продолжительность периода начисления в годах;

д Ч продолжительность периода начисления в днях;

К Ч продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкнон венный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант I используется точное число дней ссуды, определяен мое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2 берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной дням; этот метод используется, когда не требуется большая точн ность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут фактин ческое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), пон лучаем основную формулу для определения наращенной суммы*:

(1.7) или (1.8) На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае P называется современной (текущей, настоян щей, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины P наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенн ной суммы S Ч компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встрен титься название математическое дисконтирование, несовместин мое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассматн риваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую операн ции дисконтирования:

(1.9) Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выран жения на эквивалентные и выражая одни величины через дру* В литературе нередко можно встретить синонимы термина наращенн ная сумма: будущая сумма, будущая стоимость денег (от англ. Fuн ture Value of Money) и т. п.

**От англ. Present Value of Money.

гие), получаем еще несколько формул для определения неизвестн ных величин в различных случаях:

(1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах нан числения /I1, л2, Ч> nN используются ставки процентов Z1, /2,..., iff то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит в конце второго интервала:

и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма составит (1.14) Для множителя наращения, следовательно, имеем (1.15) Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным наборам исходных данных.

Пример Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставн ке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение По формуле (1.7) S = 50 000 (1 + 0,5 0,28) = 57 000 (руб.).

Пример Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение 1. В случае точных процентов берем д = 284.

По формуле (1.8) получаем S = 10 000 000 (1 + 284/366 Х 0,30) = 12 327 868 (руб.).

2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем S = 10 000 000 (1 + 284/360 0,30) = 12 366 666 (руб.).

3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем S = 10 000 000 (1+280/360 0,30) = 12 333 333 (руб.).

Пример Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год Ч 30%, а за каждое последующее полун годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение По формуле (1.15):

Ic = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975.

n По формуле (1.14):

S = 20 000 000 Х 1,975 = 39 500 000 (руб.).

Пример Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение,* По формуле (1.10) получаем п = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000 Х 0,28) = 2,14 года.

Пример Определить простую ставку процентов, при которой первонан чальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 руб. через год.

Решение По формуле (1.13) определяем I = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 Х 1) = 0,25 = 25%.

Пример Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней.

Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем P = 40 000 000 /(I + 250/365 Х 0,26) = 33 955 857 (руб.).

Из формулы (1.4) получаем / = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).

2.2. Простые учетные ставки При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаен мой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операн ция называется дисконтированием по учетной ставке, а также комн мерческим или банковским учетом.

Дисконт Ч это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разн ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%) Ч простая годовая учетная ставка;

d Ч относительная величина учетной ставки;

D2 Ч сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D Ч общая сумма процентных денег;

S Ч сумма, которая должна быть возвращена;

P Ч сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

(2.1) 42.2) (2.3) (2.4) Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для опн ределения наращенной суммы:

(2.5) Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая прон стых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в пран вой части был строго больше нуля, т. е. (1 Ч nd) > 0, или d < \/n.

Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можн но встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмотн рен в разделе 2.8.

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

(2.6) (2.7) Пример Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%.

Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб.

Решение По формуле (2.4) получаем P = 30 000 000 (1 - 0,5 Х 0,2) = 27 000 000 (руб.).

Далее D = S - P = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляетн ся кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение Расчет проводится по формуле (2.6):

п = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 Х 0,25) = 0,5 года.

Пример Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.

Решение По формуле (2.7):

d = (10 000 000 - 9 000 000)/(10 000 000 Х 0,5) = 0,2 = 20%.

2.3. Сложные ставки ссудных процентов Если после очередного интервала начисления доход (т. е. нан численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют форн мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоян щее время являются весьма распространенным видом применяен мых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть Ч относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

Ч коэффициент наращения в случае сложных проценн тов;

Ч номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прон шествии первого года наращенная сумма, в соответствии с форн мулой (1.7), составит Еще через год это выражение применяется уже к сумме S1:

и так далее. Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сумн ма составит (3.1) Множитель наращения Ic110 соответственно будет равен (3.2) При начислении простых процентов он составил бы по формун лам (1.5) и (1.7):

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов нан ращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью гран фиков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последуюн щих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной Ч тысячи рублей. Первоначальная сумма составлян ет 1000 руб., процентная ставка Ч 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше л, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нан шем распоряжении более или менее значительный период времен ни. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже чен рез небольшое (в зависимости от разницы в величине процентн ных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис. 1). Подробно этот вон прос рассматривается в разделе 2.5.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 76 |    Книги по разным темам