Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 34 | n, n Обозначим через модуль разности векторов, тогда a b 2 b1 a1 b2 a - - = na - nb = + (18) b3 a3 b3 a3.
Правая часть равенства (18) согласно формуле (42) главы 2 равна мере угла между прямыми a, b.
Таким образом, величина (18) - есть интерпретация меры угла между неизотропными прямыми коевклидовой плоскости.
Если прямые a, b - изотропные, то в каноническом репере R их можно задать однородными проективными координатами: a (а1: a2 :0), b(b1: b2 :0).
Расстояние между прямыми a, b, вычисленное по формуле (26) главы 1, равно:
a1b1 + a2bcosab = (19) 2 2 a1 + a2 b12 + bПравая часть равенства (19) равна косинусу угла между na (a1; a2 ;0), nb (b1;b2 ;0) векторами, нормальными векторами плоскостей, содержащих изображения изотропных прямых a, b в евклидовом пространстве.
Следовательно, расстояние между изотропными прямыми коевклидовой плоскости можно интерпретировать как величину двугранного угла между плоскостями пространства Е3, содержащими изображения данных прямых.
Согласно формуле (48) главы 2 и определению коевклидовых координат интерпретацией высоты точки в координатном репере R является евклидова длина отрезка образующей цилиндра (7) с концами в изображении данной точки в евклидовом пространстве и его проекции на плоскость Oxy.
Глава 4. Линейные преобразования коевклидовой плоскости 4.1 Классификация линейных преобразований Проведём классификацию преобразований фундаментальной группы коевклидовой плоскости по наличию двойных элементов (точек и прямых).
Пусть M (x1: x2: x3) - двойная точка некоторого преобразования Н группы G ((3), гл. 1) коевклидовых преобразований, заданной матрицей:
a11 a12 - a12 a11, (1) a31 a32 a где = 1. Тогда её проективные координаты, неравные нулю одновременно, удовлетворяют системе уравнений:
x1 = a11x1 + a12x2, x = -a12x1 + a11x2, x = a31x1 + a32x2 + a33x3, или (a - )x1 + a12 x2 = 0, (a- a12 x1 + - )x2 = 0, (2) a x1 + a32 x2 + - )x3 = 0.
(a Система (2) однородных линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда равен нулю ее определитель, то есть при условии:
a11 - a12 - a12 a11 - 0 = 0.
(3) a31 a32 a33 - Преобразуем уравнение (3) к виду:
(a33 - )((a11 - )(a11 - )+ a12)=. (4) Последнее уравнение имеет три корня 2 2 a11( +1) a11( +1) - 4(a11 + a12).
2,3 = 1 = a33, Каждому значению корня уравнения (4) соответствует определенный набор инвариантных элементов преобразования, поэтому дальнейшая классификация преобразований подразумевает исследование решений уравнения (4).
С целью упрощения рассуждений преобразования первого и второго рода будем классифицировать отдельно.
1. Преобразования первого рода При = 1 уравнение (4) имеет корни: 1 = а33, 2,3 = а11 ia12. Возможны следующие случаи: корни уравнения (4) различны; уравнение (4) имеет один двукратный корень; все корни уравнения (4) совпадают. Рассмотрим более подробно каждый из указанных случаев.
1. Корни уравнения (4) различны Найдём двойные точки преобразований первого рода, соответствующие значениям i, i = 1, 2, 3.
Система уравнений (2) при первом значении корня = 1 = а33 имеет вид:
(a - a33)x1 + a12x2 = 0, (a- a12x1 + - a33)x2 = 0, (5) a x1 + a32x2 = 0.
Каждое уравнение системы (5) в рассматриваемом случае задаёт изотропную прямую ((10), гл. 1), следовательно, система (5) определяет единственную инвариантную точку - действительную точку абсолюта P(0:0:1).
При условии = 2,3 = а11 ia12 система уравнений (2) имеет вид:
a12( ix1 - x2) = 0, (xa ix2) = 0, (6) a x1 + a32x2 + - ia12)) x3 = 0.
(a33 (a Соответственно знаку л+ или - получаем две различные системы (6).
Первые два уравнения каждой из этих систем равносильны и, так как корни уравнения (4) различны, то есть а12 0, эти уравнения определяют одну из прямых абсолюта. Следовательно, сами системы (6) определяют комплексно сопряженные инвариантные точки (- a33 + (a11 ia12): -a12 i(a11 - a33): a31 ia32), (7) по одной на каждой из абсолютных прямых.
Из инвариантности точек (7) следует инвариантность проходящей через них неизотропной действительной прямой:
x1(a31(a33 -a11)-a12a32)+ x2(a32(a33 -a11)+a12a31)+ x3((a33 -a11) +a12)=0.
(8) Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную инвариантную прямую. Тогда точка ее пересечения с прямой (8) является двойной точкой преобразования. Но данное преобразование действительных двойных точек не имеет, следовательно, прямая (8) - единственная неподвижная прямая преобразования.
Итак, в первом (наиболее общем) случае преобразование имеет следующие инвариантные элементы: две несобственные комплексно сопряженные точки; одну действительную неизотропную прямую.
2. Уравнение (4) имеет двукратный корень Каждое из равенств 1 = 2, 1 = 3 приводит к совпадению всех корней уравнения (4), поэтому в рассматриваемом случае эти равенства неуместны.
Остается возможным: 2 = 3. Тогда а12 = 0.
Система уравнений (2) при = 1 определяет единственную двойную точку P (0:0:1), а при = 2 = 3 - множество двойных точек, совпадающее с неизотропной прямой a31x1 + a32x2 + (a33 - a11) x3 = 0. (9) Итак, в случае существования двукратного корня уравнения (4) имеем поточечную неподвижность неизотропной (так как а33 а11) прямой (9) и, как следствие, - неподвижность каждой изотропной прямой.
Преобразование такого вида (при а12 = 0) назовём коллинеарным, учитывая, что каждая точка плоскости коллинеарна со своим образом в данном преобразовании.
3. Уравнение (4) имеет трёхкратный корень В этом случае а12 = а11 - а33 = 0.
Первые два уравнения системы (5) являются тождествами.
Следовательно, при а31 0, а32 0 все неподвижные точки преобразования заполняют изотропную прямую x1a31 + a32 x2 = 0.
(10) Двойных неизотропных прямых преобразование, очевидно, не имеет.
При дополнительных условиях на коэффициенты, а31 = а32 = 0, получим частный вид преобразования - тождественное преобразование.
2. Преобразования второго рода При = Ц1 уравнение (4) имеет следующие корни:
2 1 = a33 2,3 = a11 + a,.
Рассмотрим все возможные случаи взаимного отношения указанных корней.
1. Корни уравнения (4) различны Тогда при = 1 = а33 система уравнений (2) имеет вид:
(a - a33) x1 + a12x2 = 0, (aa x1 - + a33) x2 = 0, (11) a x1 + a32x2 = 0.
Ранг системы уравнений (11) в данном случае больше единицы, следовательно, система определяет единственную неподвижную точку - абсолютную точку P(0:0:1).
2 При = 2,3 = a11 + a12 получим соответственно знаку л+ или - две системы уравнений:
2 (- a11 a11 + a12) x1 - a12x2 = 0, a x1 -(a11 a11 + a12) x2 = 0, 2 (12) 2 a31x1 + a32x2 -(- a33 a11 + a12) x3 = 0.
Первые два уравнения систем (12) в силу пропорциональности их коэффициентов задают одну изотропную прямую.
Поэтому каждая из систем уравнений (12) определяет собственную для коевклидовой плоскости неподвижную точку преобразования:
2 2 2 ((а11 а11 + а12)( а11 + а12 - а33):
2 а12( а11 + а12 - а33):
(13) 2 а11а31 + а12а32 а31 а11 + а12).
Две первые координаты точек (13) не пропорциональны, следовательно, сами точки определяют неизотропную прямую.
Таким образом, преобразование имеет действительную двойную неизотропную прямую 2 2 (a31a33 + a11a31 + a12a32 : a32a33 + a12a31 - a11a32 : a33 - a11 - a12) (14) и две инвариантные ортогональные друг другу изотропные прямые 2 (a12 : a11 a11 + a12 : 0), (15) проходящие соответственно знаку л+, - через точки (13).
Отметим, что при а12 = 0 системы уравнений (12) определяют двойные точки преобразования: (а11 - а33 : 0 : а31) и (0 : а11 + а33 : - а32), неподвижные изотропные прямые: x2 = 0 и x1 = 0, проходящие через эти точки, и двойную неизотропную прямую (14).
2. Уравнение (4) имеет двукратный корень Тогда априори возможны три случая:
1 = 2 3, 1 = 3 2, 2 = 3 1.
Но в последнем случае получаем а11 = а12 = 0. Это приводит к равенству нулю определителя матрицы (1) преобразований группы G, то есть сама матрица не задает преобразование коевклидовой плоскости. Нас этот случай не интересует.
В первом (втором) случае имеем 2 2 2 a33 = a11 + a12 (a33 = - a11 + a12). (16) Достаточно исследовать один из указанных случаев, например, первый, так как матрица проективных преобразований определена с точностью до общего ненулевого множителя, и во втором случае, умножив на (Ц1) все коэффициенты матрицы преобразований, придем к первому равенству (16).
При = 1 = 2 система уравнений (2) имеет вид 2 (a11 - a11 + a12) x1 + a12x2 = 0, a x1 -(a11 + a11 + a12) x2 = 0, 2 (17) a x1 + a32x2 = 0.
Ранг последней системы уравнений меньше трёх, так как коэффициенты первых двух уравнений пропорциональны. Если ранг системы уравнений (17) равен двум, то получаем единственную двойную точку P (0:0:1). Если ранг системы уравнений (17) равен единице, коэффициенты уравнений в этом случае удовлетворяют двум условиям a11a32 - a12a31 - a32a33 = 0, (18) a11a31 + a12a32 + a31a33 =, то в данном преобразовании инвариантны все точки изотропной прямой (10).
Заметим, что при a12 0 и выполнении одного из равенств (16) условия (18) равносильны.
2 При = 3 = - a11 + a12 и первом условии (16) система уравнений (2) принимает вид 2 (a11 + a11 + a12) x1 + a12x2 = 0, a x1 +(- a11 + a11 + a12) x2 = 0, 2 (19) 2 a31x1 + a32x2 + 2 a11 + a12 x3 = 0.
2 a11 + a12 Для каждой коллинеации коевклидовой плоскости.
Поэтому последнее уравнение системы (19) определяет неизотропную прямую, следовательно, сама система (её ранг равен двум) определяет собственную неподвижную точку преобразования K (2a33(a11 -a33):2a12a33 :-a11a31 -a12a32 +a31a33).
Изотропная прямая k (a12: a33 - a11: 0), проходящая через эту неподвижную точку, является двойной прямой преобразования.
Докажем, что в рассматриваемом случае преобразование имеет еще одну двойную изотропную прямую.
Существует единственная изотропная прямая m, гармонически разделяющая с прямой k пару абсолютных прямых, переходящих друг в друга в преобразовании второго рода. Пусть m' - ее образ в данном преобразовании. Учитывая инвариантность прямой k, имеем (l1l2 km) = (l2l1km') = Ц1, но (l1l2 km') = (l2l1 km')Ц1 = Ц1, поэтому (l1l2 km') = (l1l2 km).
Следовательно, прямые m и m' совпадают.
Итак, при условии 2 2 a33 = a11 + a(20) преобразование имеет две неподвижные ортогональные изотропные прямые и одну неподвижную точку на одной из этих прямых.
Заметим, что при условиях (18) и a12 0 указанная неподвижная точка имеет координаты (a11 - a33: a12: a31) и является центром пучка неизотропных прямых, инвариантных в силу поточечной неподвижности прямой (10).
Если a12 = 0, то условие (20) определяет два варианта: a11=a33 и a11= Цa33.
В первом случае неподвижная точка имеет координаты:
(0: Ц2a11: a32). Если a31 = 0, то есть если выполняются условия (18), эта точка является центром пучка инвариантных неизотропных прямых.
Во втором случае неподвижная точка (2a11:0: a31) при a32 = 0, то есть при условиях (18), также является центром пучка двойных неизотропных прямых.
Таким образом, при одновременном выполнении условий (18), (20) преобразование имеет поточечно неподвижную изотропную прямую, Данный факт непосредственно следует и из теоремы 8 о свойстве преобразований второго рода, которая будет доказана в следующем параграфе.
двойную собственную для коевклидовой плоскости точку, ортогональную указанной изотропной прямой, и двойную изотропную прямую, проходящую через эту точку.
Преобразование второго рода, определённое условиями (18) и (20) назовём центральной симметрией.
3.Уравнение (4) имеет трехкратный корень Тогда a11 = a12 = a33 = 0 и, следовательно, матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости.
Результаты проведенной классификации преобразований коевклидовой плоскости представлены в приложении, в таблицах 1, 2.
4.2 Свойства преобразований коевклидовой плоскости. Движения Докажем общие свойства всех преобразований коевклидовой плоскости.
Теорема 1. Каждое преобразование Н группы G, заданное матрицей (1), изменяет меру данного угла в k раз, где ak = 2 (21) a11 + a12.
Доказательство. Пусть (ai), (bi), i = 1, 2, 3, - однородные координаты прямых a' и b' соответственно в каноническом репере R. На прямой a' выберем две точки, например, F'1(0: - a3 : a2) и F'2( - a3 : 0 : - a1). Прообразы этих точек в преобразовании Н группы G имеют координаты:
2 F1(-a3a12a33 : a3a11a33 : a3a12a31 - a3a11a32 - a2 (a11 + a12 ));
2 F2 (-a3a11a33 : -a3a12a33 : a3a11a31 + a3a12a32 + a1(a11 + a12 )).
Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в преобразовании H имеют вид:
a (a1a11 - a2a12 + a3a31 : a1a12 + a2a11 + a3a32 : a3a33).
Аналогично, однородные координаты прообраза прямой b' в преобразовании H имеют вид:
b (b1a11 - b2a12 + b3a31 : b1a12 + b2a11 + b3a32 : b3a33).
Мера угла a'b', вычисленная по формуле (42) главы 2, равна:
2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3(b1 +b2)+b3(a1 +a2)-2a3b3(a1b1 +a2b2) b1 - b2 - + = 2 2.(22) b aa3 a3b 3 bОпределим меру угла ab:
2 b1a11-b2a12+b3a31 a1a11-a2a12+a3a31 b1a12+b2a11+b3a32 a1a12+a2a11+a3a - + -.
b3a33 a3a33 b3a33 a3a В последнем выражении после возведения в квадрат, группировки a, b32,- 2 a bслагаемых при множителях и приведения подобных 3 слагаемых имеем:
2 2 2 2 2 2 a11 + a12 a3 (b12 + b2 )+ b3 (a1 + a2 )- 2a3b3(a1b1 + a2b2 ) ab =.(23) 2 2 a33 a3 bИз равенств (22), (23) следует a'b' ak = = 2 ab a11 + a12.
Теорема доказана.
Теорема 2. Каждое преобразование H коевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние от точки до неизотропной прямой в k раз, где число k определено выражением (21).
Доказательство. Каждое преобразование Н группы G переводит прямую m (m1: m2: m3) в прямую m':
(a11(a31m3 -a33m1)+ a12(a32m3 -a33m2):
(a12(a33m1 -a31m3)+ a11(a32m3 -a33m2)):
2 -m3(a11 + a12)), а точку B(b1:b2:b3) в точку B' (a11b1+a12b2 : - a12b1+a11b2 : a31b1+a32b2+a33b3).
Согласно формуле (46) главы 2 имеем:
b1m1 + b2m2 + b3m(B, m) =, (24) 2 m3 b1 + ba33 b1m1 + b2m2 + b3m (B,m ) =. (25) 2 2 2 m3 a11 + a12 b1 + bИз выражений (24), (25) получаем равенство:
(B, m ) ak = =.
2 (B, m) a11 + aЧто и требовалось доказать.
Число k назовём коэффициентом искажения преобразования H.
Инвариант k является аналогом коэффициента подобия евклидовой плоскости.
Преобразования коевклидовой плоскости, сохраняющие без изменения меры углов, назовём движениями коевклидовой плоскости.
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 34 | Книги по разным темам