Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 34 | 2.10 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере На коевклидовой плоскости (как и на евклидовой) не существует инварианта точки и неизотропной прямой. То есть не существует числовой величины, соответствующей паре (точка, неизотропная прямая), инвариантной относительно группы преобразований коевклидовой плоскости.
Укажем способ, позволяющий единственным образом каждой паре (точка, неизотропная прямая) поставить в соответствие действительное число, инвариантное относительно некоторой подгруппы группы коевклидовых преобразований.
Пусть даны точка A и неизотропная прямая m. Построим изотропную прямую k, ортогональную изотропной прямой AP. Точку пересечения прямых m и k обозначим K. Прямая AK, очевидно, неизотропная.
Расстоянием от точки A до неизотропной прямой m назовем меру угла между прямыми m и AK. Обозначение: (A, m) - расстояние от точки А до прямой m.
Пусть точка A и прямая m заданы своими однородными координатами в репере R: A(a1 : a2 : a3), m(m1 : m2 : m3). Тогда уравнение прямой AP имеет вид:
a2 x1 - a1 x2 = 0, а прямой k - вид: a1 x1 - a2 x2 = 0.
Следовательно, точка K и прямая AK имеют однородные координаты:
K(m3a2 : -m3a1 : a1m2 - a2m1), 2 2 2 AK (a1a2m2 - a2 m1 + a1a3m3 : a2a3m3 + a1a2m1 - a1 m2 : -m3(a1 + a2 )).
Найдем угол между прямыми m и AK:
2 2 -a1a2m2 -a1a3m3 m1 a1 m2 -a1a2m1 -a2a3m3 m a2m m(AK) = - + 2 2 2 m3(a1 +a2 ) m3 m3(a1 +a2 ) m1.
Как и на евклидовой плоскости такой подгруппой является группа движений коевклидовой плоскости, которая будет определена в следующей главе.
После необходимых преобразований подкоренного выражения получаем формулу для определения расстояния от точки до неизотропной прямой:
a1m1 + a2m2 + a3m(A,m) =. (46) 2 m3 a1 + aПоследняя формула позволяет дать геометрическое толкование проективных координат коевклидовой плоскости.
Пусть произвольная точка А коевклидовой плоскости в каноническом репере R = {A1, A2, A3, E} имеет однородные координаты: A(a1 : a2 : a3), причем a3 > 0. По формуле (18) главы 1 найдем косинусы расстояний от точки А до собственных для коевклидовой плоскости координатных вершин А1, А2:
aacos AA1 = cos AA2 =,. (47) 2 2 2 a1 + a2 a1 + aСогласно формуле (46) a(A, A1A2 ) =. (48) 2 a1 + aТаким образом, точку А в репере R можно задать координатами:
A(cos AA1 : cos AA2 : (A, A1A2)).
Значения cosAA1, cosAA2, определенные равенствами (47), будем называть направляющими косинусами точки А в репере R.
Заметим, что cos2 AA1 + cos2 AA2 =. (49) Расстояние (A, A1A2) от точки А до неизотропной координатной прямой назовем высотой точки А в репере R и обозначим hA.
2.11 Расстояние между точками изотропной прямой Пусть произвольные неизотропные прямые m и n пересекаются в точке В, коллинеарной данной точке А. Обозначим точки пересечения прямых m и n изотропной прямой k, ортогональной изотропной прямой АР, через M и N соответственно (рис. 10).
Получим две пары коллинеарных дублетов:
mn || (AM )(AN ); (MA)(MB) || (NA)(NB).
(50) Условия (50) означают, что ковекторы, представленные дублетами (MA)(MB), (NA)(NB), равны. Тогда по определению равны и расстояния от точки А до прямых m и n.
Доказана теорема.
Р Теорема 4. Расстояния от данной точки А до каждой неизотропной k прямой пучка с центром в точке B А а изотропной прямой АР равны.
М Следствием теоремы 4 и b определения расстояния от точки до m прямой является следующая теорема.
n Теорема 5. Расстояние от точки А до произвольной неизотропной В N прямой, проходящей через точку В, Рис. коллинеарную точке А, равно расстоянию от точки В до каждой неизотропной прямой, проходящей через точку А.
Теоремы 4, 5 позволяют ввести понятие расстояния между коллинеарными точками.
Расстоянием между точками А и В изотропной прямой назовем расстояние от любой из этих точек до произвольной неизотропной прямой, проходящей через вторую точку. Обозначение: (А, В).
Расстояние между коллинеарными точками будем также называть длиной изотропного отрезка с концами в данных точках. Обозначение: |AB|.
Пусть в некотором каноническом репере R коллинеарные точки А и В заданы своими однородными координатами: А(а1: а2: а3), B(а1: а2: b3). Тогда каждая неизотропная прямая m, проходящая через точку В, имеет в репере R координаты m (m1: m2: m3), для которых выполняется условие:
m1a1 + m2a2 + m3b3 = 0.
(51) Согласно определению (А, В) = |AB| = (А, m), поэтому равенства (46), (51) дают формулу для вычисления расстояния между двумя коллинеарными точками коевклидовой плоскости:
a3 - b(A, B)= | AB | =.
(52) 2 a1 + aЧисло (А, В), определенное равенством (52), не является инвариантом всех преобразований коевклидовой плоскости, в главе 4 найдем подгруппу группы коевклидовых преобразований, относительно которой введенное расстояние между коллинеарными точками является инвариантным.
Глава 3. Изображение коевклидовой плоскости 3.1 Введение коевклидовых координат Заметим, что до настоящего момента мы пользовались проективными координатами объектов коевклидовой плоскости. То есть коевклидову плоскость рассматривали как проективную с некоторой фиксированной Э АП фигурой, вырожденной квадрикой, не предполагая принципиальных различий между координатами точек этой фигуры и точек, ей не принадлежащих.
Теперь изменим позицию исследования, введем в рассмотрение собственно коевклидовы координаты. Геометрически переход от проективных координат к собственно коевклидовым означает удаление абсолютной квадрики в бесконечность.
Э АП Все точки квадрики, заданной в некотором проективном репере R на плоскости Р2 уравнением 2 x1 + x2 =, (1) и только эти точки будем считать бесконечно удаленными.
Пусть точка М проективной плоскости Р2 задана в репере R однородными координатами (x1: x2: x3). Необходимо найти такие функции x, y, z от переменных x1, x2, x3:
x = x (x1, x2, x3), y = y (x1, x2, x3), z = z (x1, x2, x3), которые бесконечно велики при условии (1) и принимают конечные значения при условии x12 + x. (2) Проективные координаты точек пропорциональны, поэтому (x1; x2 ; x3 ) a (x; y; z) отображение f: должно быть, по возможности, однородным нулевой степени. Это обеспечит отображение ненулевых пропорциональных троек чисел (x1: x2: x3) и (x1: x2: x3), задающих одну точку на коевклидовой плоскости, в одну тройку чисел (x; y; z), что в дальнейшем даст нам возможность построить изображение коевклидовой плоскости в евклидовом трехмерном пространстве.
Потребуем также, чтобы отображение f было инъективным на множестве всех непропорциональных ненулевых троек действительных чисел.
Несколько ослабим одно из требований и отображение f, осуществляющее переход от проективных координат точек коевклидовой плоскости к координатам коевклидовым, зададим формулами:
xx1 xx = y = z =,,. (3) 2 2 2 2 2 x1 + x2 x1 + x2 x1 + xОчевидно, что отображение f не является однородным нулевой степени.
Действительно, для любого ненулевого вещественного числа f ( x1; x2 ; x3 ) = f ( x1; x2 ; x3 ).
Это приводит к тому, что пропорциональные ненулевые тройки действительных чисел (x1: x2: x3) и (Цx1: Цx2: Цx3), являющиеся проективными координатами одной и той же точки, переходят при отображении f в различные тройки чисел (x; y; z) и (Цx; Цy; Цz). Чтобы предотвратить возможное несоответствие, тройки чисел (x; y; z) и (Цx; Цy; Цz) отождествим, будем считать коевклидовыми координатами одной и той же точки плоскости.
Итак, упорядоченную тройку чисел x, y, z, определенных равенствами (3) с точностью до общего множителя 1, назовем собственно коевклидовыми (или кратко: коевклидовыми) координатами точки М коевклидовой плоскости относительно репера R.
Коевклидовы координаты единичной точки E и собственных для плоскости вершин A1, A2 канонического репера R коевклидовой плоскости имеют относительно этого репера следующий вид:
1 1, А1( 1;0;0 А2 1;E ; ; ), (0; ).
2 2 3.2 Преобразование коевклидовых координат Пусть R и R' - канонические реперы коевклидовой плоскости. Найдем формулы преобразования коевклидовых координат точек при переходе от репера R к реперу R'.
Пусть произвольная точка М коевклидовой плоскости имеет в репере R проективные координаты (x1: x2: x3), а в репере R' - координаты (x'1: x'2: x'3).
Тогда коевклидовы координаты (x; y; z) точки М относительно репера R определены с точностью до общего множителя 1 равенствами (3), а координаты (x'; y'; z') относительно репера R' - с точностью до общего множителя 1 равенствами:
x1 x2 x x = y = z =,,. (4) x12 + x22 x12 + x22 x12 + xФормулы преобразования проективных координат точек коевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' ((9), гл. 1) имеют вид:
x1 = a11x1 + a12x2, x2 = -a12x1 + a11x2, (5) x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.
Подставим значения x1, x2, x3 из формул (5) в равенства (3). Тогда с учетом равенств (4) получаем:
a11 a x = x + y, 2 2 2 a11 + a12 a11 + a a12 a y = - x + y, 2 2 2 a11 + a12 a11 + a (6) a31 a32 az = 2 2 x + 2 2 y + 2 2 z.
a11 + a12 a11 + a12 a11 + a Формулы (6) - искомые формулы преобразования коевклидовых координат точек.
3.3 Изображение коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве 1. Пусть на коевклидовой плоскости K2 выбран проективный репер R, уравнение абсолютной квадрики в котором имеет вид (1), а в евклидовом трехмерном пространстве E3 - декартова прямоугольная система координат Oxyz.
Изображением в пространстве E3 точки M' плоскости K2 с коевклидовыми координатами (x; y; z) относительно репера R назовем точку M евклидова пространства E3 с координатами (x; y; z) в системе Oxyz.
Изображением F фигуры F' коевклидовой плоскости назовем множество всех точек пространства E3, являющихся изображением точек фигуры F'.
Согласно формулам (3) первые две коевклидовы координаты каждой точки коевклидовой плоскости связаны условием:
2 x + y =. (7) Это обстоятельство позволяет нам получить достаточно наглядное изображение коевклидовой плоскости.
Уравнение (7) в евклидовом пространстве определяет круговой цилиндр единичного радиуса, а коевклидовы координаты точек плоскости K Заметим, что мы найдем изображение коевклидовой плоскости в рамках принятого определения. Не следует отождествлять это понятие с понятием модели коевклидовой плоскости.
определены с точностью до общего множителя 1. Поэтому изображением точки коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве является пара точек на круговом цилиндре (7), симметричных относительно начала координат. А сам круговой цилиндр (7), на котором точки, симметричные относительно начала координат (центра цилиндра), отождествлены (склеены), является изображением коевклидовой плоскости.
2. Пусть в репере R проективными координатами задана точка 2 M (m1: m2: m3), m1 + m2 0, коевклидовой плоскости. Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 прямую m, проходящую через начало координат в направлении ненулевого вектора m (m1; m2; m3). Точки пересечения прямой m с цилиндром (7) обозначим M1, M2. Евклидовы координаты этих точек, очевидно, определены системой уравнений (7) и x = m1 y = m2, z = m3.
, (8) Подставим значения координат x, y из уравнений (8) в уравнение (7), получим условие, определяющее значение множителя :
2 2(m1 + m2)=1.
(9) Условия (8), (9) определяют евклидовы координаты точек M1, M2:
m1 m2 m M1,2 2 2 ; ;
. (10) 2 2 2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m Согласно формулам (3) пара точек (8) является изображением точки M коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве.
Проведенные рассуждения, очевидно, определяют способ построения изображения точки коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве.
Изображением координатных вершин А1, А2 канонического репера R являются соответственно склеенные точки в парах:
1 (А (1; 0 ; 0 ), А ( - 1; 0 ; 0 ) );
1 (11) 1 (А ( 0 ;1; 0 ), А ( 0 ; - 1; 0 ) ), 2 то есть склеенные точки пересечения цилиндра (7) соответственно с координатными осями Ox и Oy.
3. Пусть относительно репера R неколлинеарные точки A, B коевклидовой плоскости с проективными координатами (ai), (bi), i = 1, 2, 3, имеют коевклидовы координаты:
A(xa; ya; za ) B(xb; yb; zb),. (12) Тогда формула (18) главы 1 для вычисления расстояния между точками A и B в коевклидовых координатах имеет вид:
cos AB = xa xb + ya yb.
(13) Найдем геометрическую интерпретацию полученной формулы.
Обозначим через A0, B0 проекции изображений точек A, B на координатную плоскость Oxy. Точки A0, B0 лежат на окружности плоскости Oxy единичного радиуса с центром в начале системы координат Oxyz, их евклидовы координаты имеют вид:
A0 (xa ; ya ;0) B0 (xb ; yb ;0),.
Следовательно, косинус угла между радиус-векторами этих точек определен формулой:
cos(OA0, OB )= xa xb + ya yb. (14) Длина s дуги окружности, соединяющей точки А0, В0, равна:
s = OA0 OB0 cos (OA0,OB0).
(15) Сравнивая формулы (13), (14), (15) и учитывая, что векторы OA0,OBединичные, получаем следующий результат.
Интерпретацией расстояния между точками коевклидовой плоскости может служить арккосинус длины дуги, соединяющей проекции изображений данных точек на сечение кругового цилиндра плоскостью Oxy.
4. Если уравнение прямой l коевклидовой плоскости в проективных координатах имеет вид u1x1 + u2 x2 + u3x3 =, (16) то, переходя к коевклидовым координатам, получим систему уравнений:
u1x + u2 y + u3z = 0, (17) x2 + y2 = 1, определяющую в евклидовом пространстве изображение прямой l. Первое уравнение системы (17) в системе Oxyz задает плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору n (u1; u2; u3).
Следовательно, изображением прямой коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является сечение кругового цилиндра (7) плоскостью, проходящей через начало координат, со склеенными диаметрально противоположными точками.
Для изотропных прямых коевклидовой плоскости в уравнении (16) u3 = 0, следовательно, изображением изотропной прямой коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является пара диаметрально противоположных образующих цилиндра (7).
5. Пусть прямые a, b коевклидовой плоскости заданы в каноническом a1x1 + a2 x2 + a3x3 = 0 b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0.
репере R уравнениями:, Тогда векторы a a b1 b 1 2 n ; ;1 n ; ;a, b a a b b 3 3 3 евклидова пространства с единичными проекциями на ось Oz являются нормальными векторами плоскостей, содержащих изображения прямых a, b.
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 34 | Книги по разным темам