Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | 34 | Пусть преобразование H задано матрицей (1). Согласно теореме 1 H является движением тогда и только тогда, когда k = 1, то есть когда выполняется условие (20). Преобразования группы G, удовлетворяющие условию (20), образуют группу. Назовём эту группу группой движений коевклидовой плоскости. Последняя колонка таблиц 1, 2 определяет место движений среди всех преобразований коевклидовой плоскости.
Следствием теоремы 2 является следующее утверждение.
Теорема 3. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет расстояние от точки до прямой тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости.
Учитывая определение расстояния между коллинеарными точками (глава 2, з11) и теорему 2, получаем теорему.
Теорема 4. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет расстояние между коллинеарными точками тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости.
Следующие три теоремы характеризуют преобразования первого рода коевклидовой плоскости.
Теорема 5. Пусть M' - образ произвольной точки M в преобразовании H коевклидовой плоскости. Если расстояние MM' постоянно, то есть не зависит от выбора точки M, то H - преобразование первого рода.
Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R преобразования коевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка M - однородными координатами (x1: x2: x3), тогда однородные координаты точки M' в том же репере имеют вид:
M (a11x1 + a12x2 :- a12x1 +a11x2 : a31x1 + a32x2 + a33x3). (26) По формуле (18) главы 2 a x + a x x (1- )+ a x 11 1 12 1 2 11 cosMM =. (27) 2 2 2 (x + x ) a + a 1 2 11 Отметим, что движения коевклидовой плоскости можно определить как преобразования, сохраняющие без изменения расстояния между точками изотропных прямых (см., например, [9, стр. 367]).
Так как по условию теоремы MM' - const, то правая часть равенства (27) не должна зависеть от переменных x1, x2, то есть необходимо иметь тождество 2 a11x1 + a12x1x2(1- )+ a11x=, 2 x1 + xгде 2 = cos MM a11 + a12, откуда получаем:
2 x (a - )+ x ( a - )+ a x x (1- )=.
1 11 2 11 12 1 Последнее равенство является тождественным при выполнении условий:
a11 =, a11 =, a12(1 - ) = 0, то есть при = 1.
Что и требовалось доказать.
Формула (27) при = 1 имеет вид a cosMM =. (28) 2 a + a 11 Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 6. Если M' - образ точки M в преобразовании первого рода коевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) при = 1, то выполняется равенство (28).
Далее рассмотрим более подробно преобразования, при которых каждая точка плоскости лежит на одной изотропной прямой со своим образом. Такие преобразования мы назвали коллинеарными.
Пусть точка M' (26) - образ точки M (x1: x2: x3) в преобразовании H группы G. Условие коллинеарности точек M и M' имеет вид:
a11x1 + a12x2 - a12x1 + a11x2 a31x1 + a32x2 + a33xx1 x2 x3 = 0, 0 0 или 2 a (x + x )+ a x x (1- )= 0.
(29) 12 1 2 11 1 При = 1 имеем 2 a (x + x )= 0.
(30) 12 1 2 x1 + x2 Так как для собственных точек коевклидовой плоскости, то условие (30) выполняется тогда и только тогда, когда a12 = 0.
При = - 1 условие (29) имеет вид 2 a x + 2a x x - a x = 0.
(31) 12 2 11 1 2 12 Последнее равенство должно быть тождественным, так как M - произвольная точка плоскости. То есть необходимо иметь a11 = a12 = 0. Но при нулевых значениях коэффициентов a11 и a12 матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости.
Таким образом, среди преобразований второго рода коллинеарных преобразований нет.
Доказана теорема.
Теорема 7. Преобразование группы G, заданное матрицей (1), является коллинеарным тогда и только тогда, когда это преобразование первого рода и a12 = 0.
Две следующие теоремы описывают свойства преобразований второго рода.
Теорема 8. Каждое преобразование второго рода имеет две инвариантные ортогональные друг другу изотропные прямые.
Доказательство данной теоремы следует из предыдущих рассуждений.
Действительно, равенство (31) определяет координаты точек, коллинеарных со своими образами в преобразовании второго рода. Все такие точки заполняют две изотропные прямые:
2 2 2 m1 : a12x1 -(a11 - a11 +a12) x2 = 0, m2 : a12x1 -(a11 + a11 +a12) x2 = 0.
Для прямых m1, m2 выполняется условие ортогональности ((14) глава 1).
Что и требовалось доказать.
Приведем еще одно доказательство, основанное на применении принципа двойственности проективной плоскости.
К коевклидовым преобразованиям мы отнесли все преобразования проективной плоскости, относительно которых инвариантна абсолютная квадрика, пара мнимо сопряженных прямых. Очевидно, все коевклидовы преобразования оставляют неподвижным пучок прямых, определенный абсолютной квадрикой. В результате преобразований второго рода абсолютные прямые переходят друг в друга.
Для доказательства утверждения теоремы применим принцип двойственности: проведем рассуждения для объекта, состоящего из прямолинейного ряда точек (соответствующего по принципу двойственности пучку прямых) и пары мнимо сопряженных точек этого ряда (соответствующей паре мнимо сопряженных прямых пучка), переходящих друг в друга при каждом преобразовании объекта.
Пусть проективные преобразования прямолинейного ряда точек заданы формулами x1 = b11x1 + b12x2 x2 = b21x1 + b22x,, где b11 b 0, b21 bа мнимо сопряженные точки в некотором проективном репере R0 на этой прямой имеют координаты: J1(i : 1), J2( - i : 1). Условия b22 = - b11, b21 = bопределяют те преобразования прямолинейного ряда точек, при которых точки J1, J2 переходят друг в друга. Найдем инвариантные элементы преобразований при данных условиях. Пусть (x1: x2) - двойная точка преобразования. Тогда ее координаты удовлетворяют системе уравнений x1 = b11x1 + b12x2, x2 = b12 x1 - b11x, которая имеет ненулевые решения только в случае равенства нулю своего определителя, то есть при условии b11 - b= 0.
b12 - b11 - Последнее уравнение имеет два различных действительных корня 2 1,2 = b11 + b12, каждому корню соответствует инвариантная точка 2 K1,2 (b12 : b11 + b12 - b11) преобразования. Непосредственной проверкой убеждаемся, что (K1 K2 J1 J2) = Ц1.
Итак, все проективные преобразования прямой, в результате которых переходят друг в друга мнимо сопряженные точки одной пары, имеют две действительные инвариантные точки. Причем эти двойные точки гармонически разделяют данную пару мнимо сопряженных точек.
По принципу двойственности теорема справедлива.
Теорема 9. Каждая точка коевклидовой плоскости со своим образом в любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару двойных изотропных прямых преобразования.
Доказательство. Продолжая рассуждения доказательства предыдущей теоремы, найдем образ M' точки M (m1: m2) в проективных преобразованиях прямой x1 = b11x1 + b12 x2 x2 = b12x1 - b11x2.
, Точка М' в репере R0 имеет координаты:
M (b11m1 + b12m2 :b12m1 - b11m2 ).
Поэтому (MM' K1 K2) = Ц1. По принципу двойственности это означает, что каждая изотропная прямая коевклидовой плоскости в преобразовании второго рода переходит в прямую, гармонически разделяющую с данной прямой пару двойных изотропных прямых преобразования. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
4.3 Конструктивное определение коевклидовых преобразований Найдем определяющие элементы преобразований коевклидовой плоскости и способ построения образов фигур в заданном преобразовании.
1. Отражение от неизотропной прямой (евклидово вращение) Зафиксируем неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2. Пусть 2 - точка, ортогональная точке N2, а S - середина неизотропного отрезка N2N12.
Возможны два принципиально различных варианта расположения точек N, N2:
1) |[N1 N2]| > |[N2 S]|, в этом случае точки N2, S не разделяют пару точек N1, 2, то есть (SN2 N1 2) > 0;
2) |[N1 N2]| < |[N2 S]|, точки N2, S разделяют пару точек N1, 2, то есть (SN2 N1 2) < 0.
1. Пусть |[N1 N2]| > |[N2 S]|.
Каждой точке M коевклидовой плоскости и действительному положительному числу k поставим в соответствие такую точку M' этой плоскости, для которой выполняются следующие условия:
1) |[MM']| = |[N1N2]|, то есть ((PМ)(PМ') l1 l2) = ((PN1)(PN2) l1 l2), где l1, l - прямые абсолюта, Р - точка их пересечения;
2) (N2 М') t = k (N1 М) t;
3) если точка М0, коллинеарная точке М на прямой t, принадлежит (не принадлежит) неизотропному отрезку N1 S N2, то ковекторы, представленные (M N2 )t, (MN2 )t дублетами, сонаправлены (противоположно направлены).
Покажем, что введенное соответствие является преобразованием коевклидовой плоскости. Пусть произвольная точка М принадлежит изотропной прямой m. Тогда существует единственная прямая m' такая, что (m m' l1 l2) = ((PN1)(PN2) l1 l2).
Для каждой точки М прямая MN1 определена единственным образом, следовательно, единственным образом определено число = k (N1М) t.
Существуют две прямые m1, m2, проходящие через точку N2, такие, что m1 t =, m2 t =. Ковекторы m1 t, m2 t являются противоположными, то есть (m1 m2 t (PN2)) = Ц1 < 0. Это означает, что пара прямых m1, m2 разделяет пару прямых t, PN2. Возможны два варианта расположения прямых m1, m2, t, Будем считать, что все рассматриваемые неизотропные отрезки положительные, и из двух смежных отрезков будем использовать наименьший по длине (гл. 2, з9).
МN : пара прямых m1, m2 не разделяет (рис. 11) или разделяет (рис. 12) пару прямых t, МN2.
(MN2 )t Для каждой точки М коевклидовой плоскости дублет представляет ковектор, сонаправленный одному из ковекторов m1 t, m2 t.
m 1,2 P P M M m1,Nt Nt m2,1 m' m2,m' Рис. Рис. В каждом из возможных случаев положения точки М относительно неизотропного отрезка N1N2 условию 3 определения соответствия удовлетворяет одна и только одна из прямых m1, m2. Следовательно, определена и притом единственным образом точка M' пересечения этой прямой с прямой m'.
Аналогично можно показать, что для каждой точки М' коевклидовой плоскости найдется единственная точка М плоскости - ее прообраз в указанном соответствии. Таким образом, введенное соответствие является преобразованием коевклидовой плоскости.
Назовем данное преобразование отражением от неизотропной прямой t с коэффициентом k.
Для того чтобы найти матрицу данного преобразования, выделим следующие три его свойства.
Во-первых, по условию 1 определения согласно теореме преобразование является преобразованием первого рода.
Во-вторых, согласно второму условию определения прямая t - двойная прямая данного преобразования, а число k - его инвариант (k > 0).
В-третьих, условие 1 исключает наличие двойной изотропной прямой в данном преобразовании.
Указанные свойства однозначно определяют место отражения от неизотропной прямой в таблице 1 линейных преобразований коевклидовой плоскости (приложение 2).
Найдем аналитическую запись отражения в присоединенном репере.
Первую вершину канонического репера R совместим с данной точкой N2, вторую - с точкой 2, ортогональной точке N2, получим: N2(1:0:0), 2 (0:1:0).
Точку N1 зададим в репере R координатами: N1 (n:1:0). Тогда при n > серединой неизотропного отрезка N2 N1 2 является точка S = N2 + 2, ее координаты: (1:1:0). При n < 0 - точка S = N2 - 2 с координатами (1:Ц1:0).
Пусть отражение от прямой t = N1 N2 задано матрицей (1) при = 1, тогда инвариантность прямой t, заданной в репере R уравнением x3 = 0, определяет нулевые значения коэффициентов а31, а32 матрицы (1).
Первое условие определения отражения от неизотропной прямой каждой точке M (m1: m2: m3) коевклидовой плоскости ставит в соответствие точку М' (m2 + nm1 : - m1 + nm2 : a33m3).
Прямые N1 М и N2 М' в репере R имеют соответственно уравнения:
- m3x1 + nm3x2 + (m1 - nm2 )x3 = 0, (32) a33m3x2 - (nm2 - m1)x3 = 0, (33) (M N2 )t, (MN2 )t а дублеты заданы координатами:
a33 m3 m (M N )t 0; (MN )t 0;
2 (34) nm - m1, m2.
2 Определим меры углов, образованных прямой t с прямыми N1 М и N2 М'.
2 m3 1+ n m3 nm ((MN1) t)= + (35) 0 m1 - nm2 + - m1 - nm2 = m1 - nm2, a33 ma33m ((M N2) t)= (0 - 0) + + (36) 0 nm2 - m1 = m1 - nm2.
Выражения (35), (36) и второе условие в определении отражения приводят к равенству:
a33 = k n2 +1.
(37) Таким образом, канонический вид матрицы отражения с коэффициентом k в некотором каноническом репере может иметь вид:
n 1 -1 n.
(38) 0 0 k n2 + Точка М0, проекция точки М на прямую t из центра Р, имеет координаты:
М0 (m1: m2: 0) и принадлежит неизотропному отрезку N1 S N2 тогда и только тогда, когда выполняется неравенство: (M0 S N1 N2) > 0, равносильное при n > 0 (n < 0) неравенству:
mn - m(n - -1) > 0, (n (39) n m2 m2 +1)> 0.
Условие |[N1 N2]| > |[N2 S]| при n > 0 (n < 0) в координатах имеет вид:
n - 1 < 0, (n + 1 > 0). (40) Следовательно, в данном случае при n > 0 (n < 0) точка М0 принадлежит неизотропному отрезку N1SN2 тогда и только тогда, когда выполняется неравенство:
m1 m - > 0.
n - < 0, (41) n mm Требование сонаправленности (противоположной направленности) ковекторов, представленных дублетами (34), приводит к соответствующим неравенствам:
ma33 n - m1 0.
a33n - > 0, < (42) m2 m Требование условия 3 в определении отражения однозначно задает в третьем столбце матрицы (38) при n > 0 (n < 0) знак - (л+).
2. Если |[N1 N2]| < |[N2 S]|, то знак соответствующего неравенства (40) следует заменить на противоположный. Этому случаю в матрице (38) при n > 0 (n < 0) будет соответствовать знак л+ (Ц).
Пусть H - отражение от неизотропной прямой t с коэффициентом k. В определении отражения Н сохраним без изменения первые два условия. В третьем условии поменяем местами требования сонаправленности и противоположной направленности указанных ковекторов. Получим преобразование Н' коевклидовой плоскости, которое назовем отражением от неизотропной прямой t, сопряженным отражению Н. Матрицы преобразований Н и Н' имеют вид (38) с противоположными знаками при коэффициенте k. Если М1 и М'1 - образы некоторой точки М в сопряженных отражениях соответственно Н и Н' от неизотропной прямой t, то М1М'1 - изотропный отрезок с серединой на прямой t.
Pages: | 1 | ... | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | 34 | Книги по разным темам