Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 34 | (28) a1 b1 a1 ba2 b2 a2 bТаким образом, ковектор X представим в виде линейной комбинации ковекторов А и В. Следовательно, ковекторы А, В, X линейно зависимы. В равенстве (25) число () равно нулю тогда и только тогда, когда ковектор X коллинеарен ковектору В (А). Числа и одновременно равны нулю тогда и только тогда, когда ковектор X нулевой.
Итак, справедливы следующие утверждения.
III1. В ковекторном пространстве существует два линейно независимых ковектора.
III2. Любые три ковектора пространства линейно зависимы.
Следовательно, ковекторное пространство является двумерным векторным пространством.
Базисом пространства назовем любую упорядоченную линейно независимую пару ковекторов.
Согласно предыдущим рассуждениям базис пространства существует, и если А1, А2 - базис пространства, то для каждого ковектора X из существует единственная пара чисел (v1; v2) таких, что:
X = v1А1 + v2 A2.
(29) Числа (v1; v2) назовем координатами ковектора X в базисе А1, А2.
Если в каноническом репере R ковекторы А1, А2 базиса пространства имеют координаты: А1 (a11; a12), А2 (a21; a22), а ковектор X в базисе А1, А2 - координаты (v1; v2), то координаты (x1; x2) ковектора X в репере R имеют вид:
x1 = v1a11 + v2a21, (30) x2 = v1a12 + v2a22.
Координаты базисных ковекторов А1, А2 в репере R непропорциональны, следовательно, равенства (30) дают однозначное выражение чисел v1, v2:
x1 a21 a11 xx2 a22 a12 xv1 =, v2 =.
(31) a11 a21 a11 aa12 a22 a12 aТаким образом, равенства (30) - есть формулы связи координат ковектора в некотором каноническом репере с его координатами в некотором базисе пространства.
2.6 Скалярное умножение ковекторов На множестве кроме внутренних операций (з4) можно ввести внешнюю операцию - скалярное умножение ковекторов.
2 2 Э Квадратичная форма x1 + x2, определяющая абсолютную квадрику AП (1), индуцирует на множестве билинейную форму, которая каждым двум ковекторам X и Y, заданным в некотором каноническом репере R координатами X (x1; x2) и Y (y1; y2), ставит в соответствие число:
(Х, Y) = x1 y1 + x2 y2. (32) Число (Х, Y) назовём скалярным произведением ковекторов X, Y и обозначим XY (либо ab*cd при соответствующем задании ковекторов).
Число ХХ назовём скалярным квадратом ковектора X и обозначим: X 2.
Модулем ковектора назовём число, равное квадратному корню из скалярного квадрата ковектора:
| X | = X. (33) Очевидно, модуль ковектора, представленного дублетом с действительными сторонами (ai), b(bi), i = 1, 2, 3, является числом вещественным:
2 b1 a1 b2 a2 - - | X |= x1 + x2 = + (34) b3 a3 b3 a3.
Применяя координаты ковекторов, можно доказать свойства операции скалярного умножения ковекторов. Для любых ковекторов А, В, С и любого действительного числа имеют место следующие условия.
IV1. АВ = ВА.
IV2. ( А) В = (АВ).
IV3. (А + В) C = АС + ВС.
IV4. Скалярный квадрат любого ковектора неотрицателен. Скалярный квадрат ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор является нулевым.
Расстоянием между ковекторами Х и Y назовём расстояние между направляющими этих ковекторов. Обозначение: | XY | - расстояние между ковекторами X и Y. Очевидно, расстояние между ковекторами равно расстоянию между вершинами дублетов, представляющих соответственно ковекторы Х и Y.
Найдём выражение расстояния между ковекторами через их координаты в каноническом репере.
Пусть в каноническом репере R даны ковекторы X (x1; x2) и Y (y1; y2).
Тогда изотропные прямые mx, my, направляющие этих ковекторов, имеют в репере R координаты: mx (x1: x2:0), my (y1: y2:0).
По определению расстояние между ковекторами Х, Y равно расстоянию между прямыми mx, my. По формуле (26) главы 1 имеем:
x1y1 + x2 ycos XY =. (35) 2 2 2 x1 + x2 y1 + yИз формул (34), (35) и определения скалярного произведения ковекторов следует формула:
XY = X Y cos XY.
Таким образом, скалярное произведение ковекторов равно произведению их модулей на косинус расстояния между ними.
Ковекторы Х, Y назовём ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Аналитическая запись условия ортогональности ковекторов X (x1; x2) и Y (y1; y2) имеет вид:
x1y1 + x2 y2 = 0.
(36) Расстояние между ортогональными ковекторами равно /2. С проективной точки зрения ортогональность ковекторов означает гармоническую сопряженность направляющих данных ковекторов относительно абсолютных прямых.
2.7 Ортонормированные базисы ковекторного пространства Пусть R = {A1, А2, А3, Е} - произвольный репер коевклидовой плоскости, третья вершина А3 которого является общей точкой Р прямых абсолюта.
Дублеты со сторонами А1А2, А2Е и А1А2, А1Е назовем первым и вторым координатными дублетами репера R соответственно.
Если R является каноническим репером, то в нем координаты ковекторов Е1 и Е2, представленных соответственно первым и вторым координатными дублетами репера R, имеют вид:
E1(1;0), E (0;1).
Ковекторы Е1 и Е2 линейно независимы, следовательно, образуют базис пространства. По формулам (35), (34) находим:
Е1Е2 =, Е1 = Е2 =1.
Таким образом, канонические реперы коевклидовой плоскости являются аналогами ортонормированных реперов плоскости евклидовой.
Базис Е1, Е2 пространства назовем ортонормированным, если существует канонический репер R коевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2.
Каждый канонический репер, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2 базиса пространства, будем называть присоединенным к базису Е1, Е2.
Все канонические реперы, присоединенные к некоторому базису пространства, очевидно, имеют общие изотропные координатные оси.
Докажем теорему.
Теорема 3. Базис Е1, Е2 пространства является ортонормированным тогда и только тогда, когда направляющие ковекторов Е1, Е2 ортогональны.
Доказательство. I. Пусть Е1, Е2 - ортонормированный базис пространства. По определению существует канонический репер R, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2.
Следовательно, направляющие ковекторов Е1, Е2 являются изотропными координатными прямыми А1А3, А2А3 репера R. По свойству канонического репера эти прямые ортогональны.
II. Пусть направляющие ковекторов Е1, Е2 базиса пространства ортогональны. Покажем, что существует канонический репер R коевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют неколлинеарные ковекторы Е1, Е2.
ab, cd Пусть дублеты (рис. 9) с вершинами в ортогональных точках А, С представляют ковекторы Е1, Е2 соответственно. Первую вершину Аискомого репера R поместим в точку пересечения прямой а изотропной прямой СР (А1 = а СР), вторую - в точку А (А2 = А), третью - совместим с общей точкой абсолютных прямых (А3 = Р).
Через точку Н пересечения P=Aпрямых а и с проведем изотропную прямую НР. Точку пересечения прямых d и НР обозначим Т. По E построению дублеты со сторонами d С соответственно а, А1Т и с, d Т эквиполлентны, следовательно, с b представляют один и тот же ковектор.
A1 Единичную точку Е репера R поместим Н в точку пересечения прямых b и А1Т.
a A2=A ab Репер R построен. Дублет является Рис. первым координатным дублетом cd репера R, дублет эквиполлентен второму координатному дублету.
Репер R является каноническим репером коевклидовой плоскости так как по построению его вершины А1, А2 - ортогональные точки, а третья вершина является действительной точкой абсолюта.
Согласно определению базис Е1, Е2 пространства является ортонормированным.
Что и требовалось доказать.
Если канонический репер R является присоединенным к ортонормированному базису А1, А2 пространства, то базисные ковекторы в репере R имеют координаты: А1 (1; 0), А2 (0; 1). Тогда для произвольного ковектора X в соответствующих формулах (30) связи координат (v1; v2) в базисе А1, А2 и координат (x1; x2) в репере R а11 = а22 = 1, а12 = а21 = 0.
Следовательно, каждый ковектор задан в присоединенном к ортонормированному базису пространства каноническом репере теми же координатами, что и в самом базисе.
2.8 Ориентация ковекторного пространства Покажем, что ориентация коевклидовой плоскости K2 индуцирует ориентацию ковекторного пространства.
На ориентированной коевклидовой плоскости K2 выберем правый канонический репер R. Ковекторы Е1, Е2 некоторого базиса ковекторного пространства плоскости K2 зададим в репере R координатами:
E1(е11;е12), E2(е21;е22).
(37) Базис Е1, Е2 пространства назовем правым (левым), если число е11 е= (38) е12 ебольше (меньше) нуля.
Покажем, что знак числа сохраняется неизменным при переходе от репера R к любому одинаково ориентированному с R каноническому реперу, то есть определение правого (левого) базиса не зависит от выбора репера R.
Пусть R' - канонический репер коевклидовой плоскости, и формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид (21). Перепишем равенства (21) для координат базисных ковекторов Е1, Е2 (37):
a11 a12 а11 а = 11 е a33 е11 - a33 е12, = е21 - е22, е а33 а a12 a11 а12 а (39) е12 = е11 + е12, е22 = е21 + е22.
a33 a33 а33 а Определим число е11 е =.
(40) е12 еПо формулам (39) а11 а12 а11 ае11 - е12 е21 - е2 а33 а33 а33 аа11 + а = =.
(41) аа12 а11 а12 ае11 + е12 е21 + еа33 а33 а33 аСогласно равенству (41) числа и ' имеют одинаковые (разные) знаки, если = 1 ( = Ц1). То есть в одинаково ориентированных реперах R, R' ( = 1) числа, ' одного знака.
Таким образом, если базис Е1, Е2 пространства является правым (левым) в каноническом репере R, то он является правым (левым) в любом одинаково ориентированном с R каноническом репере.
Ковекторы Е1, Е2 линейно независимы, так как образуют базис пространства. Поэтому число (38) отлично от нуля, то есть либо больше, либо меньше нуля. Следовательно, каждый базис пространства является либо правым, либо левым базисом.
Таким образом, множество всех базисов ковекторного пространства коевклидовой плоскости состоит из двух классов: семейства всех правых и семейства всех левых его базисов. Каждый класс назовем ориентацией ковекторного пространства.
Для задания ориентации пространства достаточно указать некоторый канонический репер плоскости K2, который будем считать правым, так как ориентация пространства индуцирована ориентацией коевклидовой плоскости, либо непосредственно указать правый базис пространства.
2.9 Измерение углов между неизотропными прямыми. Измерение направленных неизотропных отрезков 1. Мы уже отмечали, что на коевклидовой плоскости не существует проективного инварианта двух неизотропных прямых. Измерение углов на коевклидовой плоскости введем с помощью ковекторов.
Мерой угла с неизотропными сторонами a и b назовём модуль ковектора, представленного дублетом ab. Обозначение: ab - мера угла ab.
Согласно определению меры угла и формуле (34) для прямых а(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, в каноническом репере R имеем 2 b1 a1 b2 a - - a b = + (42) b3 a3 b3 a3.
Возвращаясь к параграфу 8 главы 1, можно дать геометрическое толкование инварианта трёх неизотропных прямых.
Учитывая равенство (42) и формулу (30) з8 главы 1, находим bc J =. (43) ac Таким образом, на коевклидовой плоскости отношение углов в треугольнике (или точнее: трехстороннике) является инвариантным относительно преобразований фундаментальной группы этой плоскости.
2. В з5 дано определение неизотропных отрезков и показано, что каждые две точки неизотропной прямой коевклидовой плоскости определяют Аналогично ориентации векторного двумерного евклидова пространства, где, как правило, в качестве ориентира принимают движение часовой стрелки.
По принципу двойственности на евклидовой плоскости имеем: отношение сторон треугольника инвариантно относительно каждого линейного преобразования евклидовой плоскости.
на данной прямой два смежных отрезка. Введенное в том же параграфе понятие расстояния между точками неизотропной прямой еще не дает нам возможности измерять неизотропные отрезки. Действительно, формулы (14), (18), (19) не отражают различий между смежными отрезками.
Чтобы ввести измерение неизотропных отрезков воспользуемся понятием ориентации ковекторного пространства.
Пусть АВ - неизотропный отрезок, а R = {A1, A2, A3, Е} - правый канонический репер коевклидовой плоскости, причем координатные оси репера R не содержат ни одну из точек А и В. Неизотропному отрезку АВ плоскости K2 поставим в соответствие такой базис А, В пространства, в котором ковекторы А и В представлены соответственно дублетами (АА1)(АА2 ), (ВА1)(ВА2 ). Базис А, В назовем соответствующим отрезку АВ в репере R.
Неизотропный отрезок АВ назовем положительно (отрицательно) направленным, или кратко: положительным (отрицательным), если соответствующий ему базис А, В пространства является правым (левым).
Направленный неизотропный отрезок АВ будем обозначать [AB].
Введенное понятие положительного (отрицательного) неизотропного отрезка не зависит от выбора правого канонического репера, так как от этого выбора не зависит понятие правого (левого) базиса пространства (з8).
Длиной положительного (отрицательного) неизотропного отрезка АВ назовем модуль расстояния |AB| между концами А и В данного отрезка, определенного формулами (14), (18), (19), взятый со знаком плюс (минус).
Длину направленного неизотропного отрезка [АВ] обозначим |[AB]|.
Пусть АВ - положительный неизотропный отрезок прямой l коевклидовой плоскости, а а = АТВ и а' = АNB - смежные отрезки прямой l, определенные точками А и В. Длины отрезков а, а' обозначим |a| и |a' | соответственно. Так как отрезок АВ - положительный, то |a| и |a' | - положительные числа. Кроме того, в общем случае длины отрезков а и а' не равны. Поэтому по определению длины неизотропного отрезка и расстояния между точками неизотропной прямой получаем:
1 a + a = ln(ABK1K2 ) + ln(ABK1K2 ).
(44) 2i 2i T N В равенстве (44) нижние индексы Т и N указывают на то, что в качестве длин отрезков а и а' выбраны различные числа, определенные формулами (14), (18), (19). Далее так как |a| |a' |, по формуле (44) имеем Точки А и В образуют неизотропный отрезок, то есть неколлинеарны, поэтому |AB| 0.
Когда точки А и В не ортогональны.
a + a = ln(ABK K )(ВАK K ) = 1 2 1 2i (45) 1 = ln(AAK K ) = 2ik = k.
1 2i 2i Полагая k = 1, выберем наименьшее значение суммы положительных чисел |a|, |a' |. Тогда сумма длин смежных неизотропных направленных отрезков равна.
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 34 | Книги по разным темам